Номер 263, страница 79 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 3. Прямоугольные треугольники. 36. Признаки равенства прямоугольных треугольников. Глава 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника - номер 263, страница 79.

263 Из середины D стороны ВС равностороннего треугольника ABC проведён перпендикуляр DM к прямой АС. Найдите AM, если AB = 12 см.

Поскольку треугольник $ABC$ является равносторонним, все его стороны равны и все углы равны $60^\circ$. По условию $AB = 12$ см, следовательно, $AB = BC = AC = 12$ см, а $\angle A = \angle B = \angle C = 60^\circ$.

Точка $D$ — середина стороны $BC$. Это значит, что она делит сторону $BC$ на два равных отрезка. Найдем длину отрезка $DC$:

$DC = \frac{BC}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

Рассмотрим треугольник $DMC$. По условию, из точки $D$ проведен перпендикуляр $DM$ к прямой $AC$, следовательно, $\angle DMC = 90^\circ$. Таким образом, треугольник $DMC$ — прямоугольный. В этом треугольнике нам известны гипотенуза $DC = 6$ см и прилежащий к катету $MC$ угол $\angle C = 60^\circ$.

Чтобы найти длину катета $MC$, воспользуемся определением косинуса в прямоугольном треугольнике:

$\cos(\angle C) = \frac{MC}{DC}$

Отсюда выразим $MC$:

$MC = DC \cdot \cos(\angle C) = 6 \cdot \cos(60^\circ)$

Так как $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:

$MC = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3$ см.

Точка $M$ лежит на стороне $AC$. Длина отрезка $AM$ равна разности длин отрезков $AC$ и $MC$:

$AM = AC - MC = 12 - 3 = 9$ см.

Ответ: 9 см.