Номер 269, страница 79 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 3. Прямоугольные треугольники. 36. Признаки равенства прямоугольных треугольников. Глава 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника - номер 269, страница 79.

269 Высоты AA₁ и ВВ₁ треугольника ABC пересекаются в точке М. Найдите ∠AMB, если ∠A = 55°, ∠B = 67°.

Пусть дан треугольник $ABC$, в котором проведены высоты $AA_1$ к стороне $BC$ и $BB_1$ к стороне $AC$. Точка пересечения этих высот — $M$. По условию задачи известны углы треугольника: $\angle A = 55^\circ$ и $\angle B = 67^\circ$. Требуется найти угол $\angle AMB$.

Решение:

Существует несколько способов решения этой задачи. Рассмотрим один из них, использующий свойства четырехугольника.

1. Сначала найдем величину угла $C$ в треугольнике $ABC$. Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$. Следовательно:
$\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B)$
Подставляя известные значения, получаем:
$\angle C = 180^\circ - (55^\circ + 67^\circ) = 180^\circ - 122^\circ = 58^\circ$.

2. Теперь рассмотрим четырехугольник $A_1MB_1C$. Точки $A_1$ и $B_1$ являются основаниями высот. По определению высоты, $AA_1 \perp BC$ и $BB_1 \perp AC$. Это означает, что углы $\angle CA_1M$ (он же $\angle CA_1A$) и $\angle CB_1M$ (он же $\angle CB_1B$) являются прямыми:
$\angle CA_1M = 90^\circ$
$\angle CB_1M = 90^\circ$

3. Сумма внутренних углов любого выпуклого четырехугольника равна $360^\circ$. Применим это свойство к четырехугольнику $A_1MB_1C$:
$\angle C + \angle CA_1M + \angle A_1MB_1 + \angle MB_1C = 360^\circ$
Подставим известные нам величины углов:
$58^\circ + 90^\circ + \angle A_1MB_1 + 90^\circ = 360^\circ$
Сложим известные углы:
$\angle A_1MB_1 + 238^\circ = 360^\circ$
Отсюда находим угол $\angle A_1MB_1$:
$\angle A_1MB_1 = 360^\circ - 238^\circ = 122^\circ$.

4. Углы $\angle AMB$ и $\angle A_1MB_1$ являются вертикальными, так как они образованы при пересечении двух прямых ($AA_1$ и $BB_1$). Вертикальные углы равны между собой.
Следовательно, $\angle AMB = \angle A_1MB_1$.
$\angle AMB = 122^\circ$.

Ответ: $122^\circ$.