Номер 272, страница 80 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 3. Прямоугольные треугольники. 36. Признаки равенства прямоугольных треугольников. Глава 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника - номер 272, страница 80.

272 Докажите, что два остроугольных треугольника равны, если сторона и высоты, проведённые из концов этой стороны, одного треугольника соответственно равны стороне и высотам, проведённым из концов этой стороны, другого треугольника.

Рассмотрим два остроугольных треугольника, $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. Пусть по условию сторона $AC$ треугольника $\triangle ABC$ равна стороне $A_1C_1$ треугольника $\triangle A_1B_1C_1$, то есть $AC = A_1C_1$.

Также по условию равны высоты, проведенные из концов этих сторон. Пусть $h_c$ – высота, проведенная из вершины $C$ к стороне $AB$, а $h_a$ – высота, проведенная из вершины $A$ к стороне $BC$. Аналогично, в $\triangle A_1B_1C_1$ пусть $h_{c1}$ – высота из $C_1$ к $A_1B_1$, а $h_{a1}$ – высота из $A_1$ к $B_1C_1$. Таким образом, дано, что $h_c = h_{c1}$ и $h_a = h_{a1}$.

Необходимо доказать, что $\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$.

1. Выразим высоту $h_c$ через сторону $AC$ и угол $\angle A$. Высота $h_c$ является катетом в прямоугольном треугольнике, образованном этой высотой, стороной $AC$ (которая является гипотенузой) и частью стороны $AB$. Угол, противолежащий катету $h_c$ в этом прямоугольном треугольнике, – это угол $\angle A$. Из определения синуса в прямоугольном треугольнике имеем:$\sin(\angle A) = \frac{h_c}{AC}$, откуда $h_c = AC \cdot \sin(\angle A)$.

Аналогично для треугольника $\triangle A_1B_1C_1$:$h_{c1} = A_1C_1 \cdot \sin(\angle A_1)$.

2. По условию $h_c = h_{c1}$ и $AC = A_1C_1$. Приравняем правые части выражений для высот:$AC \cdot \sin(\angle A) = A_1C_1 \cdot \sin(\angle A_1)$.Поскольку $AC = A_1C_1$ и эти длины не равны нулю, мы можем сократить их и получить:$\sin(\angle A) = \sin(\angle A_1)$.

3. Треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ по условию остроугольные. Это означает, что все их углы острые, то есть лежат в интервале от $0^\circ$ до $90^\circ$. На этом интервале функция синуса монотонно возрастает, поэтому если синусы двух таких углов равны, то равны и сами углы. Следовательно:$\angle A = \angle A_1$.

4. Теперь повторим рассуждения для высот $h_a$ и $h_{a1}$. Высота $h_a$ является катетом в прямоугольном треугольнике, где гипотенузой служит сторона $AC$, а противолежащим углом — угол $\angle C$. Таким образом:$\sin(\angle C) = \frac{h_a}{AC}$, откуда $h_a = AC \cdot \sin(\angle C)$.

Аналогично для треугольника $\triangle A_1B_1C_1$:$h_{a1} = A_1C_1 \cdot \sin(\angle C_1)$.

5. По условию $h_a = h_{a1}$ и $AC = A_1C_1$. Снова приравниваем выражения:$AC \cdot \sin(\angle C) = A_1C_1 \cdot \sin(\angle C_1)$.Сократив равные стороны, получаем:$\sin(\angle C) = \sin(\angle C_1)$.

6. Так как углы $\angle C$ и $\angle C_1$ также являются острыми, из равенства их синусов следует равенство самих углов:$\angle C = \angle C_1$.

7. В итоге мы установили, что для треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ выполняются следующие условия:

• $AC = A_1C_1$ (по условию)
• $\angle A = \angle A_1$ (доказано)
• $\angle C = \angle C_1$ (доказано)

Таким образом, сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника.

Следовательно, по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам, или ASA), $\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$.

Ответ: Равенство треугольников доказано на основании признака равенства по стороне и двум прилежащим к ней углам.