Номер 274, страница 80 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 3. Прямоугольные треугольники. 36. Признаки равенства прямоугольных треугольников. Глава 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника - номер 274, страница 80.

274 Докажите, что △ABС = △А₁В₁С₁, если ∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁ и ВH = В₁H₁, где ВH и В₁H₁ — высоты △ABC и △A₁B₁C₁.

Для доказательства равенства треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ воспользуемся данными из условия задачи: $\angle A = \angle A_1$, $\angle B = \angle B_1$ и равенство высот $BH = B_1H_1$.

Доказательство:

1. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle A_1B_1H_1$. Они являются прямоугольными, так как $BH$ и $B_1H_1$ — высоты, а значит $BH \perp AC$ и $B_1H_1 \perp A_1C_1$. Следовательно, $\angle AHB = 90^\circ$ и $\angle A_1H_1B_1 = 90^\circ$.

Сравним эти два прямоугольных треугольника:

• $BH = B_1H_1$ (по условию). Это равенство катетов.
• $\angle A = \angle A_1$ (по условию). Это равенство острых углов, противолежащих равным катетам.

Прямоугольные треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle A_1B_1H_1$ равны по катету и противолежащему острому углу. Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих элементов, в частности, гипотенуз:
$AB = A_1B_1$.

2. Теперь рассмотрим исходные треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. Для них мы имеем:

• $\angle A = \angle A_1$ (по условию).
• $AB = A_1B_1$ (доказано в предыдущем пункте).
• $\angle B = \angle B_1$ (по условию).

Таким образом, треугольник $\triangle ABC$ равен треугольнику $\triangle A_1B_1C_1$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ доказано на основании равенства их высот $BH$ и $B_1H_1$ и двух соответствующих углов $\angle A = \angle A_1$ и $\angle B = \angle B_1$. Сначала доказывается равенство прямоугольных треугольников $\triangle ABH = \triangle A_1B_1H_1$ (по катету и противолежащему углу), из которого следует равенство сторон $AB = A_1B_1$. Затем, используя второй признак равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам), доказывается, что $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.