Номер 277, страница 80 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 3. Прямоугольные треугольники. 36. Признаки равенства прямоугольных треугольников. Глава 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника - номер 277, страница 80.

277 Две вершины треугольника являются концами диаметра окружности, а третья вершина лежит на окружности. Докажите, что этот треугольник прямоугольный.

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и диаметром $AB$. Вершины $A$ и $B$ треугольника $ABC$ являются концами этого диаметра, а вершина $C$ лежит на окружности. Необходимо доказать, что треугольник $ABC$ — прямоугольный.

Для доказательства воспользуемся свойством вписанного угла.

Способ 1: Использование теоремы о вписанном угле.

Угол $\angle ACB$ является вписанным в окружность, так как его вершина $C$ лежит на окружности, а стороны $AC$ и $BC$ пересекают окружность. Этот угол опирается на дугу $AB$.

По условию, хорда $AB$ является диаметром окружности. Диаметр делит окружность на две полуокружности. Градусная мера полуокружности составляет $180^\circ$.

Согласно теореме о вписанном угле, величина вписанного угла равна половине величины дуги, на которую он опирается.

Следовательно, величина угла $\angle ACB$ равна:
$\angle ACB = \frac{1}{2} \cdot \text{дуга } AB = \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ$.

Так как один из углов треугольника $ABC$ равен $90^\circ$, то этот треугольник является прямоугольным. Что и требовалось доказать.

Способ 2: Использование свойств медианы.

Проведем отрезок $OC$ из центра окружности $O$ к вершине $C$. Точка $O$ является серединой диаметра $AB$. Таким образом, отрезок $OC$ является медианой треугольника $ABC$, проведенной к стороне $AB$.

Так как $A$, $B$ и $C$ лежат на окружности с центром $O$, отрезки $OA$, $OB$ и $OC$ являются радиусами этой окружности. Значит, $OA = OB = OC = r$, где $r$ — радиус окружности.

Мы видим, что длина медианы $OC$ равна половине длины стороны $AB$, к которой она проведена ($OC = r$, $AB = 2r$).

Существует свойство: если в треугольнике медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то этот треугольник — прямоугольный, а угол, противолежащий этой стороне, — прямой.

Следовательно, треугольник $ABC$ — прямоугольный с прямым углом $\angle C$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Данный треугольник является прямоугольным, поскольку угол, вписанный в окружность и опирающийся на её диаметр, является прямым, то есть равен $90^\circ$.