Номер 13, страница 88 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Параграф 4. Построение треугольника по трём элементам. Вопросы для повторения к главе 4 - номер 13, страница 88.

Условие.

13 Сформулируйте и докажите утверждение о признаке равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 11.

Формулировка утверждения (признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету)

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство

Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$, в которых углы $\angle C$ и $\angle C_1$ — прямые.

Дано:
1. $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ — прямоугольные, т.е. $\angle C = \angle C_1 = 90^\circ$.
2. $AB = A_1B_1$ (гипотенузы равны).
3. $AC = A_1C_1$ (катеты равны).

Доказать:
$\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$.

Ход доказательства:
Приложим треугольник $\triangle A_1B_1C_1$ к треугольнику $\triangle ABC$ так, чтобы их равные катеты $AC$ и $A_1C_1$ совпали, а вершины $B$ и $B_1$ оказались по разные стороны от прямой $AC$.

Так как углы $\angle ACB$ и $\angle A_1C_1B_1$ (теперь $\angle ACB_1$) прямые, то угол $\angle BCB_1$ будет развернутым: $\angle BCB_1 = \angle ACB + \angle ACB_1 = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. Это означает, что точки $B$, $C$ и $B_1$ лежат на одной прямой.

Рассмотрим получившийся треугольник $\triangle ABB_1$. В этом треугольнике боковые стороны $AB$ и $AB_1$ равны, так как по условию гипотенуза $AB$ равна гипотенузе $A_1B_1$. Следовательно, треугольник $\triangle ABB_1$ является равнобедренным с основанием $BB_1$.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, а значит, острый угол $\angle B$ треугольника $\triangle ABC$ равен острому углу $\angle B_1$ треугольника $\triangle A_1B_1C_1$.

Теперь сравним исходные треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. Мы установили, что у них равны гипотенузы ($AB = A_1B_1$) и по одному острому углу ($\angle B = \angle B_1$).

Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ равны по признаку равенства по гипотенузе и острому углу.

Таким образом, утверждение полностью доказано.

Ответ: Доказано, что если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.