Номер 16, страница 88 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 4. § 4. Построение треугольника по трём элементам. Глава 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника - номер 16, страница 88.

16 Докажите, что любая наклонная, проведённая из данной точки к данной прямой, меньше суммы перпендикуляра, проведённого из той же точки к этой прямой, и проекции наклонной.

Доказательство

Пусть дана прямая $a$ и точка $A$, не лежащая на этой прямой.

Проведем из точки $A$ к прямой $a$ перпендикуляр $AH$, где $H$ — основание перпендикуляра.

Проведем из точки $A$ к прямой $a$ произвольную наклонную $AB$. Точка $B$ лежит на прямой $a$ и не совпадает с точкой $H$.

В данной задаче:

• $AB$ — наклонная.
• $AH$ — перпендикуляр.
• $HB$ — проекция наклонной $AB$ на прямую $a$.

Необходимо доказать, что $AB < AH + HB$.

Рассмотрим треугольник $AHB$. Так как $AH$ является перпендикуляром к прямой $a$, то угол $\angle AHB$ — прямой, то есть $\angle AHB = 90^\circ$. Следовательно, треугольник $AHB$ является прямоугольным.

Для любого треугольника справедливо неравенство треугольника, которое гласит, что любая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон.

Применим это свойство к стороне $AB$ треугольника $AHB$:

$AB < AH + HB$

Это неравенство и доказывает исходное утверждение: длина наклонной ($AB$) меньше суммы длин перпендикуляра ($AH$) и проекции этой наклонной ($HB$).

Ответ: Утверждение доказано на основе неравенства треугольника.