Номер 17, страница 88 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 4. § 4. Построение треугольника по трём элементам. Глава 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника - номер 17, страница 88.

17 Что называется расстоянием от точки до прямой?

Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, проведенного (опущенного) из этой точки на данную прямую.

Чтобы лучше понять это определение, рассмотрим его подробно:

1. Представим себе точку $A$ и прямую $a$, на которой эта точка не лежит. Мы можем соединить точку $A$ с любой точкой на прямой $a$ с помощью отрезка. Таких отрезков можно провести бесконечно много.

2. Среди всех этих отрезков существует только один, который будет перпендикулярен прямой $a$. Назовем его $AH$, где $H$ — это точка на прямой $a$. Отрезок $AH$ образует с прямой $a$ прямой угол (то есть $\angle AHA_1 = 90^{\circ}$, где $A_1$ — любая другая точка на прямой $a$). Точка $H$ называется основанием перпендикуляра.

3. Все остальные отрезки, соединяющие точку $A$ с другими точками на прямой $a$ (например, отрезок $AM$, где $M \neq H$), называются наклонными.

4. Ключевое свойство, доказанное в геометрии, гласит: длина перпендикуляра, проведенного из точки к прямой, всегда меньше длины любой наклонной, проведенной из той же точки к той же прямой. То есть, $AH < AM$ для любой точки $M$ на прямой $a$, не совпадающей с $H$.

Таким образом, расстояние от точки до прямой — это самое короткое из всех возможных расстояний от этой точки до точек, лежащих на прямой.

В аналитической геометрии, если точка задана координатами $A(x_0, y_0)$, а прямая — общим уравнением $Ax + By + C = 0$, то расстояние $d$ можно вычислить по формуле: $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

Ответ: Расстоянием от точки до прямой является длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на эту прямую.