Страница 95 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

331 Определите геометрическое место всех точек плоскости, равноудалённых от двух пересекающихся прямых.

Пусть даны две прямые $a$ и $b$, пересекающиеся в точке $O$. Мы ищем геометрическое место точек (ГМТ), равноудаленных от этих двух прямых.

Пусть $M$ — произвольная точка, принадлежащая искомому ГМТ. Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Опустим из точки $M$ перпендикуляры $MA$ на прямую $a$ и $MB$ на прямую $b$. По определению искомого ГМТ, длины этих перпендикуляров должны быть равны: $MA = MB$.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $?OAM$ (где $?OAM = 90°$) и $?OBM$ (где $?OBM = 90°$).

• Гипотенуза $OM$ у этих треугольников общая.
• Катет $MA$ равен катету $MB$ по условию.

Следовательно, прямоугольные треугольники $?OAM$ и $?OBM$ равны по гипотенузе и катету.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов, а именно $?AOM = ?BOM$. Это означает, что луч $OM$ является биссектрисой угла $AOB$, образованного прямыми $a$ и $b$. Таким образом, любая точка $M$, равноудалённая от прямых $a$ и $b$, лежит на биссектрисе угла, образованного этими прямыми.

При пересечении двух прямых образуются две пары смежных углов и две пары вертикальных углов. Проведенное рассуждение справедливо для любого из четырёх углов, образованных прямыми $a$ и $b$. Биссектрисы вертикальных углов являются продолжением друг друга и образуют одну прямую. Биссектрисы смежных углов взаимно перпендикулярны.

Следовательно, все точки, равноудалённые от прямых $a$ и $b$, образуют две прямые, которые являются биссектрисами углов, образованных при пересечении прямых $a$ и $b$. Эти две биссектрисы проходят через точку пересечения $O$ и взаимно перпендикулярны.

Верно и обратное утверждение: любая точка, лежащая на одной из этих биссектрис, равноудалена от исходных прямых.

Ответ: Геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от двух пересекающихся прямых, — это пара взаимно перпендикулярных прямых, являющихся биссектрисами углов, образованных данными прямыми.

332 Определите геометрическое место всех точек плоскости, равноудалённых от двух данных параллельных прямых.

Пусть даны две параллельные прямые $a$ и $b$. Мы ищем множество всех точек на плоскости, для каждой из которых расстояние до прямой $a$ равно расстоянию до прямой $b$.

Доказательство:

1. Пусть точка $M$ равноудалена от прямых $a$ и $b$. Опустим из точки $M$ перпендикуляры $MA$ на прямую $a$ и $MB$ на прямую $b$ (где $A$ и $B$ — основания перпендикуляров). По определению расстояния от точки до прямой, длины этих перпендикуляров равны, то есть $MA = MB$.

Поскольку прямые $a$ и $b$ параллельны, а $MA \perp a$ и $MB \perp b$, то точки $A$, $M$ и $B$ лежат на одной прямой, перпендикулярной обеим данным прямым. Отрезок $AB$ является общим перпендикуляром к прямым $a$ и $b$, и его длина — это расстояние между прямыми. Обозначим это расстояние как $d$, то есть $AB = d$.

Так как точка $M$ находится между прямыми $a$ и $b$, она лежит на отрезке $AB$. Следовательно, $AB = MA + MB$. Поскольку $MA = MB$, то $d = MA + MA = 2 \cdot MA$. Отсюда $MA = d/2$. Аналогично, $MB = d/2$.

Это означает, что любая точка $M$, равноудаленная от прямых $a$ и $b$, находится на расстоянии $d/2$ от каждой из них. Множество всех таких точек образует прямую, параллельную $a$ и $b$ и проходящую ровно посередине между ними. Назовем эту прямую $c$.

2. Теперь докажем обратное. Возьмём любую точку $N$ на прямой $c$, которая параллельна $a$ и $b$ и проходит посередине между ними. По определению, расстояние от любой точки прямой $c$ до прямой $a$ постоянно и равно $d/2$. Аналогично, расстояние от любой точки прямой $c$ до прямой $b$ также постоянно и равно $d/2$. Следовательно, любая точка $N$ на прямой $c$ равноудалена от прямых $a$ и $b$.

Таким образом, искомое геометрическое место точек представляет собой прямую.

Ответ: Геометрическое место всех точек плоскости, равноудалённых от двух данных параллельных прямых, есть прямая, параллельная этим прямым и проходящая посередине между ними.

333 Даны два отрезка AB и CD. Постройте точку M, такую, что МА = МВ и МС = MD.

Анализ

Задача состоит в том, чтобы найти точку $M$, равноудаленную от точек $A$ и $B$, и в то же время равноудаленную от точек $C$ и $D$.

1. Геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек (например, $A$ и $B$), есть серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки (отрезку $AB$). Обозначим этот серединный перпендикуляр как прямую $p$. Таким образом, любое решение, точка $M$, должно лежать на прямой $p$, так как по условию $MA = MB$.

2. Аналогично, геометрическое место точек, равноудаленных от точек $C$ и $D$, — это серединный перпендикуляр к отрезку $CD$. Обозначим его как прямую $q$. Так как по условию $MC = MD$, точка $M$ должна лежать и на прямой $q$.

3. Следовательно, искомая точка $M$ должна принадлежать обеим прямым $p$ и $q$. Это означает, что точка $M$ является точкой пересечения серединных перпендикуляров к отрезкам $AB$ и $CD$.

Построение

Для построения искомой точки $M$ выполним следующие шаги с помощью циркуля и линейки:

1. Построим серединный перпендикуляр $p$ к отрезку $AB$.
   • Из точек $A$ и $B$ как из центров проводим две дуги окружности одинакового радиуса $R_1$, где $R_1 > \frac{1}{2}AB$.
   • Через две точки пересечения этих дуг проводим прямую $p$. Эта прямая и есть серединный перпендикуляр к $AB$.
2. Построим серединный перпендикуляр $q$ к отрезку $CD$.
   • Из точек $C$ и $D$ как из центров проводим две дуги окружности одинакового радиуса $R_2$, где $R_2 > \frac{1}{2}CD$.
   • Через две точки пересечения этих дуг проводим прямую $q$. Эта прямая — серединный перпендикуляр к $CD$.
3. Находим точку пересечения прямых $p$ и $q$. Эта точка и будет искомой точкой $M$. То есть, $M = p \cap q$.

Доказательство

По построенной точке $M$ нужно доказать, что она удовлетворяет условиям задачи.

• Так как точка $M$ лежит на серединном перпендикуляре $p$ к отрезку $AB$, то по свойству серединного перпендикуляра она равноудалена от его концов, то есть $MA = MB$.
• Так как точка $M$ лежит на серединном перпендикуляре $q$ к отрезку $CD$, то она равноудалена и от его концов, то есть $MC = MD$.

Оба условия задачи выполнены. Следовательно, построенная точка $M$ является искомой.

Исследование

В зависимости от взаимного расположения отрезков $AB$ и $CD$ задача может иметь разное количество решений.

• 1. Единственное решение. Если серединные перпендикуляры $p$ и $q$ пересекаются, то существует одна-единственная точка $M$. Это происходит в общем случае, когда прямые, содержащие отрезки $AB$ и $CD$, не параллельны.
• 2. Нет решений. Если серединные перпендикуляры $p$ и $q$ параллельны, но не совпадают, то они не имеют общих точек. В этом случае точки $M$, удовлетворяющей условию, не существует. Это происходит, когда прямые, содержащие отрезки $AB$ и $CD$, параллельны, но сами отрезки не лежат на общем серединном перпендикуляре.
• 3. Бесконечно много решений. Если серединные перпендикуляры $p$ и $q$ совпадают ($p = q$), то любая точка этой общей прямой является решением. В этом случае задача имеет бесконечно много решений. Это происходит, когда отрезки $AB$ и $CD$ имеют общий серединный перпендикуляр.

Ответ: Искомая точка $M$ является точкой пересечения серединного перпендикуляра к отрезку $AB$ и серединного перпендикуляра к отрезку $CD$. В зависимости от расположения отрезков задача может иметь одно, ни одного или бесконечно много решений.

334 Даны угол и отрезок AB. Постройте точку M, равноудалённую от сторон угла и такую, что МА = МВ.

Для решения данной задачи необходимо найти геометрическое место точек, удовлетворяющих каждому из условий, а затем найти их пересечение.

1. Анализ задачи

Искомая точка $M$ должна удовлетворять двум условиям:

• Условие 1: Точка $M$ равноудалена от сторон данного угла. Геометрическим местом точек (ГМТ), равноудаленных от сторон угла, является его биссектриса.
• Условие 2: Точка $M$ равноудалена от точек $A$ и $B$, то есть выполняется равенство $MA = MB$. Геометрическим местом точек (ГМТ), равноудаленных от двух данных точек, является серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки.

Следовательно, искомая точка $M$ является точкой пересечения биссектрисы данного угла и серединного перпендикуляра к отрезку $AB$.

2. План построения

1. Построить биссектрису $l$ данного угла.
2. Построить серединный перпендикуляр $m$ к отрезку $AB$.
3. Точка пересечения прямых $l$ и $m$ будет искомой точкой $M$.

3. Построение

Пусть дан некоторый угол с вершиной $O$ и отрезок $AB$.

1. Построение биссектрисы l.
   • Устанавливаем циркуль в вершину угла $O$ и проводим дугу произвольного радиуса, которая пересекает стороны угла в точках $C$ и $D$.
   • Из точек $C$ и $D$ проводим две дуги одинакового радиуса внутри угла так, чтобы они пересеклись. Обозначим точку их пересечения $K$.
   • Проводим луч $OK$. Этот луч и есть биссектриса $l$ данного угла.
2. Построение серединного перпендикуляра m.
   • Из точки $A$ проводим дугу окружности радиусом $R$, который заведомо больше половины длины отрезка $AB$.
   • Не меняя радиуса циркуля ($R$), из точки $B$ проводим другую дугу так, чтобы она пересекла первую. Получаем две точки пересечения дуг, $P_1$ и $P_2$.
   • Проводим прямую через точки $P_1$ и $P_2$. Эта прямая и есть серединный перпендикуляр $m$ к отрезку $AB$.
3. Нахождение точки M.
   • Находим точку пересечения построенных прямых $l$ и $m$. Эта точка $M$ является искомой.

4. Доказательство

По построению, точка $M$ лежит на биссектрисе $l$ угла, следовательно, она равноудалена от его сторон. Также, по построению, точка $M$ лежит на серединном перпендикуляре $m$ к отрезку $AB$, следовательно, для нее выполняется равенство $MA = MB$. Таким образом, построенная точка $M$ удовлетворяет всем условиям задачи.

5. Исследование

Задача имеет решение, если прямые $l$ (биссектриса) и $m$ (серединный перпендикуляр) пересекаются. В евклидовой геометрии на плоскости две различные прямые пересекаются в одной точке или параллельны.

• Если $l$ и $m$ пересекаются, решение единственно. Это наиболее общий случай.
• Если $l$ и $m$ параллельны и не совпадают, то точек пересечения нет, и задача не имеет решения.
• Если $l$ и $m$ совпадают, то любая точка на этой прямой является решением, то есть задача имеет бесконечное множество решений. Это возможно лишь при очень специфическом взаимном расположении угла и отрезка.

Как правило, для произвольно заданных угла и отрезка задача имеет единственное решение.

Ответ: Искомая точка $M$ — это точка пересечения биссектрисы данного угла и серединного перпендикуляра к отрезку $AB$. Построение заключается в последовательном построении этих двух линий с помощью циркуля и линейки и нахождении их точки пересечения.

335 Биссектрисы внешних углов В и С треугольника АВС пересекаются в точке О. Докажите, что точка О равноудалена от прямых АВ, ВС и СА.

Пусть дан треугольник $ABC$. Прямые, содержащие стороны треугольника, обозначим как $AB$, $BC$ и $CA$. Точка $O$ — точка пересечения биссектрис внешних углов при вершинах $B$ и $C$. Нам необходимо доказать, что точка $O$ равноудалена от прямых $AB$, $BC$ и $CA$.

Расстояние от точки до прямой измеряется длиной перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную прямую. Опустим из точки $O$ перпендикуляры на прямые $AB$, $BC$ и $CA$. Обозначим их основания как $K$, $M$ и $N$ соответственно. Таким образом, $OK \perp AB$, $OM \perp BC$, и $ON \perp CA$. Длины этих перпендикуляров $OK$, $OM$ и $ON$ являются расстояниями от точки $O$ до прямых $AB$, $BC$ и $CA$. Наша задача — доказать, что $OK = OM = ON$.

Воспользуемся свойством биссектрисы угла: любая точка, лежащая на биссектрисе угла, равноудалена от его сторон.

1. Точка $O$ по условию лежит на биссектрисе внешнего угла при вершине $B$. Этот угол образован прямыми $AB$ и $BC$. Следовательно, точка $O$ равноудалена от этих прямых. Это означает, что длины перпендикуляров, опущенных из точки $O$ на эти прямые, равны: $OK = OM$.

2. Аналогично, точка $O$ по условию лежит на биссектрисе внешнего угла при вершине $C$. Этот угол образован прямыми $BC$ и $CA$. Следовательно, точка $O$ равноудалена от этих прямых. Это означает, что: $OM = ON$.

3. Из двух полученных равенств $OK = OM$ и $OM = ON$ следует, что все три расстояния равны между собой: $OK = OM = ON$.

Таким образом, мы доказали, что точка $O$ равноудалена от прямых $AB$, $BC$ и $CA$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Точка $O$ равноудалена от прямых $AB$, $BC$ и $CA$, так как она принадлежит биссектрисам двух внешних углов треугольника, и по свойству биссектрисы равноудалена от сторон каждого из этих углов.