Номер 333, страница 95 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 1. Геометрические места точек. 40. Свойства серединного перпендикуляра к отрезку. Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры - номер 333, страница 95.

333 Даны два отрезка AB и CD. Постройте точку M, такую, что МА = МВ и МС = MD.

Анализ

Задача состоит в том, чтобы найти точку $M$, равноудаленную от точек $A$ и $B$, и в то же время равноудаленную от точек $C$ и $D$.

1. Геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек (например, $A$ и $B$), есть серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки (отрезку $AB$). Обозначим этот серединный перпендикуляр как прямую $p$. Таким образом, любое решение, точка $M$, должно лежать на прямой $p$, так как по условию $MA = MB$.

2. Аналогично, геометрическое место точек, равноудаленных от точек $C$ и $D$, — это серединный перпендикуляр к отрезку $CD$. Обозначим его как прямую $q$. Так как по условию $MC = MD$, точка $M$ должна лежать и на прямой $q$.

3. Следовательно, искомая точка $M$ должна принадлежать обеим прямым $p$ и $q$. Это означает, что точка $M$ является точкой пересечения серединных перпендикуляров к отрезкам $AB$ и $CD$.

Построение

Для построения искомой точки $M$ выполним следующие шаги с помощью циркуля и линейки:

1. Построим серединный перпендикуляр $p$ к отрезку $AB$.
   • Из точек $A$ и $B$ как из центров проводим две дуги окружности одинакового радиуса $R_1$, где $R_1 > \frac{1}{2}AB$.
   • Через две точки пересечения этих дуг проводим прямую $p$. Эта прямая и есть серединный перпендикуляр к $AB$.
2. Построим серединный перпендикуляр $q$ к отрезку $CD$.
   • Из точек $C$ и $D$ как из центров проводим две дуги окружности одинакового радиуса $R_2$, где $R_2 > \frac{1}{2}CD$.
   • Через две точки пересечения этих дуг проводим прямую $q$. Эта прямая — серединный перпендикуляр к $CD$.
3. Находим точку пересечения прямых $p$ и $q$. Эта точка и будет искомой точкой $M$. То есть, $M = p \cap q$.

Доказательство

По построенной точке $M$ нужно доказать, что она удовлетворяет условиям задачи.

• Так как точка $M$ лежит на серединном перпендикуляре $p$ к отрезку $AB$, то по свойству серединного перпендикуляра она равноудалена от его концов, то есть $MA = MB$.
• Так как точка $M$ лежит на серединном перпендикуляре $q$ к отрезку $CD$, то она равноудалена и от его концов, то есть $MC = MD$.

Оба условия задачи выполнены. Следовательно, построенная точка $M$ является искомой.

Исследование

В зависимости от взаимного расположения отрезков $AB$ и $CD$ задача может иметь разное количество решений.

• 1. Единственное решение. Если серединные перпендикуляры $p$ и $q$ пересекаются, то существует одна-единственная точка $M$. Это происходит в общем случае, когда прямые, содержащие отрезки $AB$ и $CD$, не параллельны.
• 2. Нет решений. Если серединные перпендикуляры $p$ и $q$ параллельны, но не совпадают, то они не имеют общих точек. В этом случае точки $M$, удовлетворяющей условию, не существует. Это происходит, когда прямые, содержащие отрезки $AB$ и $CD$, параллельны, но сами отрезки не лежат на общем серединном перпендикуляре.
• 3. Бесконечно много решений. Если серединные перпендикуляры $p$ и $q$ совпадают ($p = q$), то любая точка этой общей прямой является решением. В этом случае задача имеет бесконечно много решений. Это происходит, когда отрезки $AB$ и $CD$ имеют общий серединный перпендикуляр.

Ответ: Искомая точка $M$ является точкой пересечения серединного перпендикуляра к отрезку $AB$ и серединного перпендикуляра к отрезку $CD$. В зависимости от расположения отрезков задача может иметь одно, ни одного или бесконечно много решений.