Номер 337, страница 103 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры. Параграф 2. Окружность. Касательная к окружности. 43. Вписанная и описанная окружности треугольника - номер 337, страница 103.

Условие.

337 Докажите, что если две хорды АВ и АС окружности равны, то ни одна из них не является диаметром этой окружности.

Решение 1.

Решение 10.

Решение 11.

337

Доказательство проведем методом от противного.

Предположим, что одна из равных хорд, например хорда AB, является диаметром. Диаметр — это хорда, проходящая через центр окружности, и это самая длинная хорда в окружности.

По условию задачи, хорда AC равна хорде AB ($AB = AC$). Так как AB, по нашему предположению, является самой длинной хордой (диаметром), то и равная ей хорда AC также должна быть самой длинной. Следовательно, AC также является диаметром.

Таким образом, мы получили, что AB и AC — это два диаметра окружности. Оба диаметра должны проходить через центр окружности, назовем его O. Кроме того, по условию они имеют общую точку A.

Это означает, что точки A, O, B лежат на одной прямой (поскольку AB — диаметр), и точки A, O, C также лежат на одной прямой (поскольку AC — диаметр). Так как обе эти прямые проходят через две общие точки A и O, они должны совпадать.

Следовательно, все три точки A, B и C лежат на одной и той же прямой. Но по условию все эти точки также лежат на окружности. Прямая может пересекать окружность не более чем в двух точках. Чтобы три точки A, B и C одновременно лежали и на прямой, и на окружности, необходимо, чтобы как минимум две из этих точек совпадали.

Так как A является общей точкой хорд, а B и C — их другими концами, то для выполнения этого условия точки B и C должны совпадать ($B = C$). Но если точки B и C совпадают, то хорды AB и AC являются одной и той же хордой. Это противоречит условию задачи, в котором говорится о «двух хордах» AB и AC, что подразумевает, что они различны.

Полученное противоречие доказывает, что наше первоначальное предположение было неверным. Значит, хорда AB не может быть диаметром. Поскольку хорды AB и AC равны, то же самое рассуждение справедливо и для хорды AC, следовательно, она также не является диаметром.

Ответ: Что и требовалось доказать.