Номер 339, страница 103 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Окружность. Касательная к окружности. 43. Вписанная и описанная окружности треугольника. Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры - номер 339, страница 103.

339 Докажите, что если АВ — диаметр окружности и С — внешняя точка относительно этой окружности, не лежащая на прямой АВ, то угол АСВ острый.

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и диаметром $AB$. Точка $C$ является внешней по отношению к этой окружности и не лежит на прямой $AB$. Требуется доказать, что угол $ACB$ — острый, то есть $\angle ACB < 90^\circ$.

Рассмотрим два возможных случая расположения прямой $BC$ относительно окружности.

1. Прямая BC пересекает окружность в двух точках.

Пусть прямая $BC$ пересекает окружность не только в точке $B$, но и в другой точке $D$. Поскольку точка $C$ — внешняя, а точка $B$ лежит на окружности, точка $D$ будет лежать на отрезке $BC$. Соединим точки $A$ и $D$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ADB$. Угол $\angle ADB$ является вписанным в окружность и опирается на диаметр $AB$. По свойству вписанного угла, опирающегося на диаметр, его величина равна $90^\circ$. Итак, $\angle ADB = 90^\circ$.

Точки $C$, $D$ и $B$ лежат на одной прямой, следовательно, углы $\angle ADC$ и $\angle ADB$ являются смежными. Их сумма равна $180^\circ$:

$\angle ADC + \angle ADB = 180^\circ$

Отсюда находим угол $\angle ADC$:

$\angle ADC = 180^\circ - \angle ADB = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ADC$. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$:

$\angle CAD + \angle ACD + \angle ADC = 180^\circ$

Подставим известное значение $\angle ADC = 90^\circ$:

$\angle CAD + \angle ACD + 90^\circ = 180^\circ$

$\angle CAD + \angle ACD = 90^\circ$

Угол $\angle ACD$ — это и есть искомый угол $\angle ACB$. Так как точка $C$ по условию не лежит на прямой $AB$, треугольник $\triangle ABC$ невырожденный, а значит, и $\triangle ADC$ является невырожденным треугольником. Следовательно, угол $\angle CAD$ строго больше нуля: $\angle CAD > 0$.

Из равенства $\angle ACB + \angle CAD = 90^\circ$ получаем $\angle ACB = 90^\circ - \angle CAD$. Поскольку $\angle CAD > 0$, то $\angle ACB < 90^\circ$.

2. Прямая BC является касательной к окружности в точке B.

Если прямая $BC$ касается окружности в точке $B$, то по свойству касательной радиус $OB$, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной $BC$. Следовательно, $\angle OBC = 90^\circ$.

Поскольку центр окружности $O$ лежит на диаметре $AB$, угол $\angle ABC$ совпадает с углом $\angle OBC$, то есть $\angle ABC = 90^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Сумма его углов равна $180^\circ$:

$\angle ACB + \angle BAC + \angle ABC = 180^\circ$

Подставим значение $\angle ABC = 90^\circ$:

$\angle ACB + \angle BAC + 90^\circ = 180^\circ$

$\angle ACB + \angle BAC = 90^\circ$

Поскольку треугольник $\triangle ABC$ невырожденный, угол $\angle BAC$ строго больше нуля: $\angle BAC > 0$.

Из равенства следует, что $\angle ACB = 90^\circ - \angle BAC$, и так как $\angle BAC > 0$, то $\angle ACB < 90^\circ$.

Таким образом, в обоих возможных случаях мы доказали, что угол $ACB$ является острым. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано: если $AB$ — диаметр окружности и $C$ — внешняя точка относительно этой окружности, не лежащая на прямой $AB$, то угол $ACB$ острый.