Номер 346, страница 103 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Окружность. Касательная к окружности. 43. Вписанная и описанная окружности треугольника. Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры - номер 346, страница 103.

346 Найдите длину отрезка АВ, касательного к окружности с центром О, где В — точка касания, если угол АОВ равен 45°, а радиус окружности — 12 см.

Рассмотрим треугольник $AOB$. По условию задачи, $AB$ является касательной к окружности с центром в точке $O$, а $B$ — точка касания. Согласно свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен самой касательной. Следовательно, радиус $OB$ перпендикулярен отрезку $AB$.

Это означает, что угол $\angle OBA = 90°$, и треугольник $\triangle AOB$ является прямоугольным.

Сумма углов в любом треугольнике составляет $180°$. Мы знаем два угла в треугольнике $\triangle AOB$: $\angle OBA = 90°$ и, по условию, $\angle AOB = 45°$. Найдем третий угол $\angle OAB$:
$\angle OAB = 180° - \angle OBA - \angle AOB$
$\angle OAB = 180° - 90° - 45° = 45°$

Таким образом, в треугольнике $\triangle AOB$ два угла равны: $\angle OAB = \angle AOB = 45°$. Треугольник, у которого два угла равны, является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике стороны, лежащие напротив равных углов, также равны.

Сторона $AB$ лежит напротив угла $\angle AOB$.
Сторона $OB$ лежит напротив угла $\angle OAB$.

Следовательно, $AB = OB$.

По условию задачи, радиус окружности равен 12 см, то есть $OB = 12$ см.Отсюда следует, что длина отрезка $AB$ также равна 12 см.

Ответ: 12 см.