Номер 351, страница 104 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Окружность. Касательная к окружности. 43. Вписанная и описанная окружности треугольника. Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры - номер 351, страница 104.

351 Угол между диаметром AB и хордой АС равен 30°. Через точку С проведена касательная, пересекающая прямую AB в точке D. Докажите, что треугольник ACD равнобедренный.

Пусть $O$ — центр окружности. Поскольку $AB$ — диаметр, точка $O$ лежит на отрезке $AB$. Точки $A$ и $C$ лежат на окружности, поэтому отрезки $OA$ и $OC$ являются радиусами этой окружности. Следовательно, $OA = OC$.

Рассмотрим треугольник $OAC$. Так как $OA = OC$, этот треугольник является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Основанием является сторона $AC$, значит, $\angle OCA = \angle OAC$.

По условию задачи, угол между диаметром $AB$ и хордой $AC$ равен $30^\circ$. Это означает, что $\angle OAC = 30^\circ$. Следовательно, $\angle OCA = 30^\circ$.

Сумма углов в треугольнике $OAC$ равна $180^\circ$, поэтому мы можем найти угол при вершине $O$:
$\angle AOC = 180^\circ - (\angle OAC + \angle OCA) = 180^\circ - (30^\circ + 30^\circ) = 120^\circ$.

По свойству касательной, проведенной к окружности, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. В нашем случае, прямая $CD$ является касательной в точке $C$, а $OC$ — радиус. Следовательно, $OC \perp CD$, что означает $\angle OCD = 90^\circ$.

Рассмотрим треугольник $ODC$. Он является прямоугольным, так как $\angle OCD = 90^\circ$. Найдем его угол $\angle DOC$. Поскольку точки $A, O, B$ лежат на одной прямой, а касательная в точке $C$ пересекает эту прямую в точке $D$, нам нужно определить, где находится точка $D$. В прямоугольном треугольнике $ODC$ угол $\angle DOC$ не может быть равен $\angle AOC = 120^\circ$, так как сумма двух углов уже превысит $180^\circ$. Следовательно, точка $D$ лежит на продолжении диаметра $AB$ за точку $B$.

Углы $\angle AOC$ и $\angle COB$ являются смежными, так как $A, O, B$ лежат на одной прямой. Их сумма равна $180^\circ$.
$\angle COB = 180^\circ - \angle AOC = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.
Поскольку точка $D$ лежит на прямой $AB$ за точкой $B$, угол $\angle DOC$ совпадает с углом $\angle COB$. Таким образом, $\angle DOC = 60^\circ$.

Теперь мы знаем два угла в прямоугольном треугольнике $ODC$: $\angle OCD = 90^\circ$ и $\angle DOC = 60^\circ$. Найдем третий угол $\angle ODC$ (который также является углом $\angle ADC$):
$\angle ADC = \angle ODC = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

Рассмотрим треугольник $ACD$. Мы знаем два его угла:
1. $\angle CAD = 30^\circ$ (по условию).
2. $\angle ADC = 30^\circ$ (как было найдено выше).
Поскольку два угла в треугольнике $ACD$ равны ($\angle CAD = \angle ADC$), он является равнобедренным по признаку равнобедренного треугольника. Стороны, лежащие напротив равных углов, равны: $AC = CD$.

Ответ: Треугольник $ACD$ имеет два равных угла ($\angle CAD = \angle ADC = 30^\circ$), следовательно, он является равнобедренным.