Номер 354, страница 104 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Окружность. Касательная к окружности. 43. Вписанная и описанная окружности треугольника. Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры - номер 354, страница 104.

354 На рисунке 162 ОВ = 3 см, ОА = 6 см. Найдите ∠3 и ∠4.

Для однозначного решения задачи, представленной на изображении, не хватает данных. Условие "На рисунке 162 OB = 3 см, OA = 6 см. Найдите ?3 и ?4" является неполным. Как правило, в подобных задачах дополнительная информация (например, длины других отрезков или значения некоторых углов) указывается на самом рисунке или в полном тексте. Ниже представлено решение, основанное на наиболее вероятных предположениях о недостающих условиях.

Предположим, что на рисунке изображены два отрезка $AC$ и $BD$, пересекающиеся в точке $O$. Таким образом, образуются два треугольника: $\triangle AOD$ и $\triangle BOC$. Будем считать, что $\angle 3$ — это $\angle OAD$, а $\angle 4$ — это $\angle ODA$.

Ключевым шагом для нахождения углов является доказательство подобия этих треугольников. Воспользуемся вторым признаком подобия треугольников (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними).

1. Равенство углов: Угол $\angle AOD$ равен углу $\angle BOC$, так как они являются вертикальными: $\angle AOD = \angle BOC$.
2. Отношение сторон: Из условия задачи известны длины сторон $OA=6$ см и $OB=3$ см.
3. Предположение о недостающих данных: Для того чтобы доказать подобие, необходимо, чтобы отношение длин двух других сторон, прилежащих к равным углам, было таким же. То есть, должно выполняться равенство $\frac{OA}{OB} = \frac{OD}{OC}$. Подставив известные значения, получаем $\frac{6}{3} = \frac{OD}{OC}$, что означает $\frac{OD}{OC} = 2$. Это условие (например, в виде длин $OD=8$ см и $OC=4$ см) должно быть дано в полной версии задачи.

При выполнении этих условий ($\frac{OA}{OB} = \frac{OD}{OC} = 2$ и $\angle AOD = \angle BOC$), треугольники $\triangle AOD$ и $\triangle BOC$ подобны ($\triangle AOD \sim \triangle BOC$) с коэффициентом подобия $k=2$. Из подобия следует равенство соответственных углов: вершине $A$ соответствует вершина $B$, а вершине $D$ — вершина $C$.

?3

В подобных треугольниках $\triangle AOD$ и $\triangle BOC$ угол $\angle OAD$ (наш $\angle 3$) соответствует углу $\angle OBC$. Следовательно, их градусные меры равны: $\angle 3 = \angle OAD = \angle OBC$. Для нахождения численного значения $\angle 3$ необходимо знать величину угла $\angle OBC$ из полного условия задачи.
Ответ: Величина угла $\angle 3$ равна величине угла $\angle OBC$.

?4

Аналогично, в подобных треугольниках $\triangle AOD$ и $\triangle BOC$ угол $\angle ODA$ (наш $\angle 4$) соответствует углу $\angle OCB$. Следовательно, их градусные меры равны: $\angle 4 = \angle ODA = \angle OCB$. Для нахождения численного значения $\angle 4$ необходимо знать величину угла $\angle OCB$ из полного условия задачи.
Ответ: Величина угла $\angle 4$ равна величине угла $\angle OCB$.