Номер 355, страница 104 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры. Параграф 2. Окружность. Касательная к окружности. 43. Вписанная и описанная окружности треугольника - номер 355, страница 104.

Условие.

355 Прямые AB и АС касаются окружности с центром О в точках В и С. Найдите ВС, если ∠OAB = 30°, AB = 5 см.

Решение 1.

Решение 10.

Решение 11.

Согласно свойству касательных, проведенных к окружности из одной точки $A$, отрезки касательных от этой точки до точек касания $B$ и $C$ равны. Таким образом, $AB = AC$. По условию задачи $AB = 5$ см, следовательно, $AC = 5$ см.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Поскольку $AB = AC$, этот треугольник является равнобедренным с основанием $BC$.

Отрезок $AO$, соединяющий точку $A$ (из которой проведены касательные) с центром окружности $O$, является биссектрисой угла $\angle BAC$. Из условия известно, что $\angle OAB = 30^\circ$. Следовательно, угол $\angle BAC$ равен удвоенному значению угла $\angle OAB$:
$\angle BAC = 2 \cdot \angle OAB = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$.

Таким образом, $\triangle ABC$ — это равнобедренный треугольник, у которого угол при вершине, противолежащей основанию, равен $60^\circ$. Такой треугольник является равносторонним. Это можно доказать, вычислив углы при основании:
$\angle ABC = \angle ACB = (180^\circ - \angle BAC) / 2 = (180^\circ - 60^\circ) / 2 = 120^\circ / 2 = 60^\circ$.
Поскольку все три угла треугольника $\triangle ABC$ равны $60^\circ$, он является равносторонним.

В равностороннем треугольнике все стороны равны. Значит, $BC = AB = AC$. Так как $AB = 5$ см, то и $BC = 5$ см.

Ответ: $5$ см.