Номер 361, страница 104 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Окружность. Касательная к окружности. 43. Вписанная и описанная окружности треугольника. Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры - номер 361, страница 104.

361 Постройте прямоугольный треугольник по медиане и высоте, проведённым к гипотенузе.

Для построения прямоугольного треугольника по заданным медиане $m$ и высоте $h$, проведённым к гипотенузе, решение можно разбить на следующие этапы: анализ, построение, доказательство и исследование.

Анализ

Пусть искомый прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$ построен. $AB$ – его гипотенуза. $CM = m$ – медиана, проведённая к гипотенузе, а $CH = h$ – высота, проведённая к гипотенузе. Точка $M$ – середина гипотенузы $AB$, а точка $H$ лежит на прямой $AB$.

Известно свойство прямоугольного треугольника: медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Следовательно, $CM = AM = BM = m$. Это означает, что точка $M$ является центром окружности, описанной около треугольника $ABC$, и её радиус равен $m$. Все три вершины $A$, $B$, $C$ лежат на этой окружности.

Высота $CH$ перпендикулярна гипотенузе $AB$. Это означает, что вершина $C$ находится на расстоянии $h$ от прямой, содержащей гипотенузу $AB$.

Таким образом, вершина $C$ должна удовлетворять двум условиям:

1. Принадлежать окружности с центром в точке $M$ (середине будущей гипотенузы) и радиусом $m$.
2. Принадлежать прямой, параллельной будущей гипотенузе $AB$ и находящейся на расстоянии $h$ от неё.

Эти два геометрических места точек позволяют определить положение вершины $C$ относительно гипотенузы $AB$.

Построение

Пусть даны два отрезка: один длиной $m$ (медиана) и другой длиной $h$ (высота).

1. Построим окружность $\omega$ с произвольным центром $M$ и радиусом, равным отрезку $m$.
2. Проведём через центр $M$ произвольную прямую $a$. Точки её пересечения с окружностью $\omega$ обозначаем $A$ и $B$. Отрезок $AB$ будет гипотенузой искомого треугольника. Его длина равна $2m$.
3. Построим прямую $b$, параллельную прямой $a$ и отстоящую от неё на расстояние $h$. Для этого:
   • В точке $M$ восстановим перпендикуляр к прямой $a$.
   • На этом перпендикуляре отложим отрезок $MK$ длиной $h$.
   • Через точку $K$ проведём прямую $b$, перпендикулярную отрезку $MK$ (и, следовательно, параллельную $a$).
4. Прямая $b$ пересечёт окружность $\omega$ в одной или двух точках. Обозначим одну из этих точек пересечения как $C$. Если $h > m$, пересечения не будет, и задача не имеет решений.
5. Соединим точку $C$ с точками $A$ и $B$. Полученный треугольник $ABC$ является искомым.

Доказательство

Рассмотрим построенный треугольник $ABC$.

• По построению, точка $C$ лежит на окружности с диаметром $AB$. Следовательно, вписанный угол $\angle ACB$, опирающийся на диаметр, равен $90^\circ$. Таким образом, треугольник $ABC$ – прямоугольный.
• По построению, $M$ – середина отрезка $AB$. Следовательно, отрезок $CM$ является медианой, проведённой к гипотенузе. Длина $CM$ равна радиусу окружности $\omega$, то есть $CM = m$.
• Расстояние от точки $C$ до прямой $AB$ по построению равно расстоянию между параллельными прямыми $b$ и $a$, которое мы задали равным $h$. Следовательно, высота, опущенная из вершины $C$ на гипотенузу $AB$, равна $h$.

Таким образом, построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование

Задача имеет решение, если окружность $\omega$ и прямая $b$ пересекаются. Это происходит, когда расстояние от центра окружности $M$ до прямой $b$ не превышает радиуса окружности. Расстояние это равно $h$, а радиус равен $m$. Таким образом, условие существования решения: $h \le m$.

• Если $h < m$, прямая $b$ пересекает окружность в двух точках. Это даёт два симметричных относительно прямой $MK$ решения, но полученные треугольники будут конгруэнтны. Следовательно, с точностью до конгруэнтности решение единственно.
• Если $h = m$, прямая $b$ касается окружности в одной точке (точке $K$). В этом случае вершина $C$ совпадает с $K$, основание высоты $H$ совпадает с центром $M$, и треугольник $ABC$ является равнобедренным прямоугольным треугольником. Решение единственно.
• Если $h > m$, прямая $b$ и окружность не имеют общих точек, и построение невозможно. Задача не имеет решений.

Ответ: Построение возможно при условии, что длина медианы не меньше длины высоты ($m \ge h$). Искомый треугольник строится путём нахождения вершины прямого угла как точки пересечения окружности (центр которой — середина будущей гипотенузы, а радиус равен медиане) и прямой, параллельной гипотенузе и удалённой от неё на расстояние, равное высоте.