Страница 104 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

348 Две окружности с центрами О₁ и О₂ вписаны в угол. Одна из них касается его сторон в точках А и D, а вторая — в точках В и С. Докажите, что AB = CD.

Пусть M — вершина угла, а его стороны — два луча, выходящие из этой точки. Пусть первая окружность с центром $O_1$ касается сторон угла в точках A и D, а вторая окружность с центром $O_2$ — в точках B и C. Будем считать, что точки A и B лежат на одной стороне угла, а точки D и C — на другой.

Согласно свойству касательных, проведенных к окружности из одной точки, длины отрезков касательных от этой точки до точек касания равны. Применим это свойство для вершины угла M и обеих окружностей:

1. Для первой окружности (с точками касания A и D) отрезки касательных, проведенных из точки M, равны: $MA = MD$.

2. Для второй окружности (с точками касания B и C) отрезки касательных, проведенных из точки M, также равны: $MB = MC$.

Длина отрезка AB, который лежит на одной из сторон угла, представляет собой разность расстояний от вершины M до точек B и A. В зависимости от того, какая окружность ближе к вершине, это будет $MB - MA$ или $MA - MB$. В общем виде это можно записать как модуль разности: $AB = |MB - MA|$.

Аналогично, длина отрезка CD, лежащего на другой стороне угла, равна модулю разности расстояний от вершины M до точек C и D: $CD = |MC - MD|$.

Теперь подставим в выражение для длины отрезка CD ранее полученные равенства. Заменим $MC$ на $MB$ и $MD$ на $MA$:

$CD = |MC - MD| = |MB - MA|$.

Сравнивая выражения для длин отрезков AB и CD, мы видим, что они равны:

$AB = |MB - MA|$

$CD = |MB - MA|$

Следовательно, $AB = CD$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $AB = CD$ доказано.

349 Через точку А окружности проведены касательная и хорда, равная радиусу окружности. Найдите угол между ними.

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Через точку $A$ на окружности проведены касательная и хорда $AB$. По условию задачи, длина хорды равна радиусу, то есть $AB = R$.

Рассмотрим треугольник $\triangle OAB$. Его стороны $OA$ и $OB$ являются радиусами окружности, поэтому $OA = R$ и $OB = R$. Так как по условию и хорда $AB = R$, то все три стороны этого треугольника равны: $OA = OB = AB = R$.

Следовательно, треугольник $\triangle OAB$ является равносторонним. В равностороннем треугольнике все внутренние углы равны $60^\circ$. В частности, угол между хордой $AB$ и радиусом $OA$ равен $\angle OAB = 60^\circ$.

Воспользуемся свойством касательной к окружности: радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Таким образом, радиус $OA$ перпендикулярен касательной в точке $A$, и угол между ними составляет $90^\circ$.

Искомый угол между касательной и хордой $AB$ является одним из двух углов, которые они образуют. Острый угол можно найти как разность угла между касательной и радиусом и угла между хордой и радиусом:

$\alpha_{1} = 90^\circ - \angle OAB = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

Касательная и хорда образуют два угла, которые в сумме дают $180^\circ$. Второй, тупой угол, равен:

$\alpha_{2} = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$.

Оба значения являются решением задачи.

Ответ: $30^\circ$ или $150^\circ$.

350 Через концы хорды AB, равной радиусу окружности, проведены две касательные, пересекающиеся в точке С. Найдите угол АСВ.

Пусть O — центр окружности, а R — её радиус.

Рассмотрим треугольник $AOB$. По условию задачи, хорда $AB$ равна радиусу окружности, то есть $AB = R$. Стороны $OA$ и $OB$ также являются радиусами, поэтому $OA = R$ и $OB = R$. Следовательно, треугольник $AOB$ является равносторонним, так как все его стороны равны: $OA = OB = AB = R$.

В равностороннем треугольнике все углы равны $60^\circ$. Таким образом, центральный угол $\angle AOB$, опирающийся на хорду $AB$, равен $60^\circ$.

По свойству касательной к окружности, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Так как $AC$ и $BC$ — касательные в точках $A$ и $B$ соответственно, то $OA \perp AC$ и $OB \perp BC$. Отсюда следует, что углы $\angle OAC$ и $\angle OBC$ являются прямыми: $\angle OAC = 90^\circ$ и $\angle OBC = 90^\circ$.

Рассмотрим четырехугольник $OACB$. Сумма внутренних углов любого выпуклого четырехугольника равна $360^\circ$. Для четырехугольника $OACB$ справедливо равенство:$\angle AOB + \angle OAC + \angle OBC + \angle ACB = 360^\circ$

Подставим известные значения углов в это уравнение:$60^\circ + 90^\circ + 90^\circ + \angle ACB = 360^\circ$

Упростим выражение:$240^\circ + \angle ACB = 360^\circ$

Отсюда находим искомый угол $\angle ACB$:$\angle ACB = 360^\circ - 240^\circ = 120^\circ$

Ответ: $120^\circ$.

351 Угол между диаметром AB и хордой АС равен 30°. Через точку С проведена касательная, пересекающая прямую AB в точке D. Докажите, что треугольник ACD равнобедренный.

Пусть $O$ — центр окружности. Поскольку $AB$ — диаметр, точка $O$ лежит на отрезке $AB$. Точки $A$ и $C$ лежат на окружности, поэтому отрезки $OA$ и $OC$ являются радиусами этой окружности. Следовательно, $OA = OC$.

Рассмотрим треугольник $OAC$. Так как $OA = OC$, этот треугольник является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Основанием является сторона $AC$, значит, $\angle OCA = \angle OAC$.

По условию задачи, угол между диаметром $AB$ и хордой $AC$ равен $30^\circ$. Это означает, что $\angle OAC = 30^\circ$. Следовательно, $\angle OCA = 30^\circ$.

Сумма углов в треугольнике $OAC$ равна $180^\circ$, поэтому мы можем найти угол при вершине $O$:
$\angle AOC = 180^\circ - (\angle OAC + \angle OCA) = 180^\circ - (30^\circ + 30^\circ) = 120^\circ$.

По свойству касательной, проведенной к окружности, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. В нашем случае, прямая $CD$ является касательной в точке $C$, а $OC$ — радиус. Следовательно, $OC \perp CD$, что означает $\angle OCD = 90^\circ$.

Рассмотрим треугольник $ODC$. Он является прямоугольным, так как $\angle OCD = 90^\circ$. Найдем его угол $\angle DOC$. Поскольку точки $A, O, B$ лежат на одной прямой, а касательная в точке $C$ пересекает эту прямую в точке $D$, нам нужно определить, где находится точка $D$. В прямоугольном треугольнике $ODC$ угол $\angle DOC$ не может быть равен $\angle AOC = 120^\circ$, так как сумма двух углов уже превысит $180^\circ$. Следовательно, точка $D$ лежит на продолжении диаметра $AB$ за точку $B$.

Углы $\angle AOC$ и $\angle COB$ являются смежными, так как $A, O, B$ лежат на одной прямой. Их сумма равна $180^\circ$.
$\angle COB = 180^\circ - \angle AOC = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.
Поскольку точка $D$ лежит на прямой $AB$ за точкой $B$, угол $\angle DOC$ совпадает с углом $\angle COB$. Таким образом, $\angle DOC = 60^\circ$.

Теперь мы знаем два угла в прямоугольном треугольнике $ODC$: $\angle OCD = 90^\circ$ и $\angle DOC = 60^\circ$. Найдем третий угол $\angle ODC$ (который также является углом $\angle ADC$):
$\angle ADC = \angle ODC = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

Рассмотрим треугольник $ACD$. Мы знаем два его угла:
1. $\angle CAD = 30^\circ$ (по условию).
2. $\angle ADC = 30^\circ$ (как было найдено выше).
Поскольку два угла в треугольнике $ACD$ равны ($\angle CAD = \angle ADC$), он является равнобедренным по признаку равнобедренного треугольника. Стороны, лежащие напротив равных углов, равны: $AC = CD$.

Ответ: Треугольник $ACD$ имеет два равных угла ($\angle CAD = \angle ADC = 30^\circ$), следовательно, он является равнобедренным.

352 Даны окружность с центром О радиуса 4,5 см и точка А. Через точку А проведены две касательные к окружности. Найдите угол между ними, если ОА = 9 см.

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $r = 4,5$ см. Из точки $A$, не лежащей на окружности, проведены две касательные. Обозначим точки касания как $B$ и $C$. Угол между касательными — это угол $\angle BAC$.

По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен самой касательной. Таким образом, $OB \perp AB$ и $OC \perp AC$. Это означает, что треугольники $\triangle OBA$ и $\triangle OCA$ являются прямоугольными.

Рассмотрим один из этих прямоугольных треугольников, например, $\triangle OBA$. В нем:

• $\angle OBA = 90^\circ$ (так как $OB$ — радиус, а $AB$ — касательная).
• $OB$ — катет, равный радиусу окружности: $OB = 4,5$ см.
• $OA$ — гипотенуза, по условию $OA = 9$ см.

Найдем угол $\angle OAB$ с помощью тригонометрических функций. Синус угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:

$\sin(\angle OAB) = \frac{OB}{OA}$

Подставим известные значения:

$\sin(\angle OAB) = \frac{4,5}{9} = \frac{1}{2}$

Из этого следует, что $\angle OAB = 30^\circ$.

Треугольники $\triangle OBA$ и $\triangle OCA$ равны по катету и гипотенузе ($OB=OC$ как радиусы, $OA$ — общая гипотенуза). Следовательно, отрезок $OA$ является биссектрисой угла $\angle BAC$, образованного касательными.

Таким образом, искомый угол $\angle BAC$ в два раза больше угла $\angle OAB$:

$\angle BAC = 2 \cdot \angle OAB = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$

Ответ: $60^\circ$.

353 Отрезки AB и AC являются отрезками касательных к окружности с центром О, проведёнными из точки А. Найдите угол ВАС, если середина отрезка АО лежит на окружности.

Пусть $r$ — это радиус окружности с центром в точке $O$. Согласно свойству касательных, проведенных к окружности из одной точки, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Таким образом, отрезок $OB$ перпендикулярен касательной $AB$. Это означает, что треугольник $\triangle OBA$ является прямоугольным, где $\angle OBA = 90^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle OBA$:

• Катет $OB$ является радиусом окружности, поэтому $OB = r$.
• Гипотенуза — это отрезок $AO$, соединяющий центр окружности с точкой $A$.

Из условия задачи известно, что середина отрезка $AO$ лежит на окружности. Обозначим эту середину точкой $M$. Поскольку точка $M$ лежит на окружности, расстояние от нее до центра $O$ равно радиусу, то есть $OM = r$. Так как $M$ — середина отрезка $AO$, то длина всего отрезка $AO$ в два раза больше длины отрезка $OM$. Следовательно, $AO = 2 \cdot OM = 2r$.

Теперь вернемся к прямоугольному треугольнику $\triangle OBA$. Мы установили, что катет $OB = r$, а гипотенуза $AO = 2r$. Таким образом, катет $OB$ равен половине гипотенузы $AO$. В прямоугольном треугольнике угол, лежащий напротив катета, равного половине гипотенузы, равен $30^\circ$. В треугольнике $\triangle OBA$ напротив катета $OB$ лежит угол $\angle BAO$. Следовательно, $\angle BAO = 30^\circ$.

Отрезок $AO$, соединяющий точку, из которой проведены касательные, с центром окружности, является биссектрисой угла между касательными ($\angle BAC$). Это означает, что он делит угол $\angle BAC$ на два равных угла: $\angle BAO$ и $\angle CAO$. Таким образом, $\angle BAC = 2 \cdot \angle BAO$. Подставляем найденное значение: $\angle BAC = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.

354 На рисунке 162 ОВ = 3 см, ОА = 6 см. Найдите ∠3 и ∠4.

Для однозначного решения задачи, представленной на изображении, не хватает данных. Условие "На рисунке 162 OB = 3 см, OA = 6 см. Найдите ?3 и ?4" является неполным. Как правило, в подобных задачах дополнительная информация (например, длины других отрезков или значения некоторых углов) указывается на самом рисунке или в полном тексте. Ниже представлено решение, основанное на наиболее вероятных предположениях о недостающих условиях.

Предположим, что на рисунке изображены два отрезка $AC$ и $BD$, пересекающиеся в точке $O$. Таким образом, образуются два треугольника: $\triangle AOD$ и $\triangle BOC$. Будем считать, что $\angle 3$ — это $\angle OAD$, а $\angle 4$ — это $\angle ODA$.

Ключевым шагом для нахождения углов является доказательство подобия этих треугольников. Воспользуемся вторым признаком подобия треугольников (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними).

1. Равенство углов: Угол $\angle AOD$ равен углу $\angle BOC$, так как они являются вертикальными: $\angle AOD = \angle BOC$.
2. Отношение сторон: Из условия задачи известны длины сторон $OA=6$ см и $OB=3$ см.
3. Предположение о недостающих данных: Для того чтобы доказать подобие, необходимо, чтобы отношение длин двух других сторон, прилежащих к равным углам, было таким же. То есть, должно выполняться равенство $\frac{OA}{OB} = \frac{OD}{OC}$. Подставив известные значения, получаем $\frac{6}{3} = \frac{OD}{OC}$, что означает $\frac{OD}{OC} = 2$. Это условие (например, в виде длин $OD=8$ см и $OC=4$ см) должно быть дано в полной версии задачи.

При выполнении этих условий ($\frac{OA}{OB} = \frac{OD}{OC} = 2$ и $\angle AOD = \angle BOC$), треугольники $\triangle AOD$ и $\triangle BOC$ подобны ($\triangle AOD \sim \triangle BOC$) с коэффициентом подобия $k=2$. Из подобия следует равенство соответственных углов: вершине $A$ соответствует вершина $B$, а вершине $D$ — вершина $C$.

?3

В подобных треугольниках $\triangle AOD$ и $\triangle BOC$ угол $\angle OAD$ (наш $\angle 3$) соответствует углу $\angle OBC$. Следовательно, их градусные меры равны: $\angle 3 = \angle OAD = \angle OBC$. Для нахождения численного значения $\angle 3$ необходимо знать величину угла $\angle OBC$ из полного условия задачи.
Ответ: Величина угла $\angle 3$ равна величине угла $\angle OBC$.

?4

Аналогично, в подобных треугольниках $\triangle AOD$ и $\triangle BOC$ угол $\angle ODA$ (наш $\angle 4$) соответствует углу $\angle OCB$. Следовательно, их градусные меры равны: $\angle 4 = \angle ODA = \angle OCB$. Для нахождения численного значения $\angle 4$ необходимо знать величину угла $\angle OCB$ из полного условия задачи.
Ответ: Величина угла $\angle 4$ равна величине угла $\angle OCB$.

355 Прямые AB и АС касаются окружности с центром О в точках В и С. Найдите ВС, если ∠OAB = 30°, AB = 5 см.

Согласно свойству касательных, проведенных к окружности из одной точки $A$, отрезки касательных от этой точки до точек касания $B$ и $C$ равны. Таким образом, $AB = AC$. По условию задачи $AB = 5$ см, следовательно, $AC = 5$ см.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Поскольку $AB = AC$, этот треугольник является равнобедренным с основанием $BC$.

Отрезок $AO$, соединяющий точку $A$ (из которой проведены касательные) с центром окружности $O$, является биссектрисой угла $\angle BAC$. Из условия известно, что $\angle OAB = 30^\circ$. Следовательно, угол $\angle BAC$ равен удвоенному значению угла $\angle OAB$:
$\angle BAC = 2 \cdot \angle OAB = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$.

Таким образом, $\triangle ABC$ — это равнобедренный треугольник, у которого угол при вершине, противолежащей основанию, равен $60^\circ$. Такой треугольник является равносторонним. Это можно доказать, вычислив углы при основании:
$\angle ABC = \angle ACB = (180^\circ - \angle BAC) / 2 = (180^\circ - 60^\circ) / 2 = 120^\circ / 2 = 60^\circ$.
Поскольку все три угла треугольника $\triangle ABC$ равны $60^\circ$, он является равносторонним.

В равностороннем треугольнике все стороны равны. Значит, $BC = AB = AC$. Так как $AB = 5$ см, то и $BC = 5$ см.

Ответ: $5$ см.

356 В треугольнике ABC угол В прямой. Докажите, что: а) прямая ВС является касательной к окружности с центром А радиуса AB; б) прямая AB является касательной к окружности с центром С радиуса СВ; в) прямая АС не является касательной к окружностям с центром В и радиусами ВA и BС.

а)

По условию, в треугольнике $ABC$ угол $B$ прямой, следовательно, $\angle ABC = 90^\circ$. Это означает, что сторона $AB$ перпендикулярна стороне $BC$, то есть $AB \perp BC$.

Рассмотрим окружность с центром в точке $A$ и радиусом $R = AB$. Прямая $BC$ проходит через точку $B$. Отрезок $AB$ является радиусом этой окружности, проведенным из центра $A$ в точку $B$, лежащую на прямой $BC$.

Согласно признаку касательной, если прямая, проходящая через точку на окружности, перпендикулярна радиусу, проведенному в эту точку, то эта прямая является касательной к окружности.

Так как прямая $BC$ проходит через точку $B$ и перпендикулярна радиусу $AB$, то прямая $BC$ является касательной к окружности с центром в точке $A$ и радиусом $AB$. Точка $B$ — точка касания.

Ответ: Что и требовалось доказать.

б)

Рассмотрим окружность с центром в точке $C$ и радиусом $R = CB$. Прямая $AB$ проходит через точку $B$. Отрезок $CB$ является радиусом этой окружности, проведенным из центра $C$ в точку $B$.

Из условия известно, что $\angle ABC = 90^\circ$, значит $CB \perp AB$.

Поскольку прямая $AB$ проходит через точку $B$ на окружности и перпендикулярна радиусу $CB$, проведенному в эту точку, то по признаку касательной прямая $AB$ является касательной к окружности с центром в точке $C$ и радиусом $CB$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

в)

Рассмотрим прямую $AC$ и две окружности с центром в точке $B$: первую с радиусом $R_1 = BA$ и вторую с радиусом $R_2 = BC$.

Прямая является касательной к окружности, если расстояние от центра окружности до этой прямой равно ее радиусу.

Найдем расстояние от центра $B$ до прямой $AC$. Для этого опустим перпендикуляр $BH$ из точки $B$ на прямую $AC$. Длина отрезка $BH$ и есть искомое расстояние.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$ (по построению $\angle BHA = 90^\circ$). В этом треугольнике сторона $BA$ является гипотенузой, а $BH$ — катетом. В прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда длиннее катета, поэтому $BH < BA$.

Так как расстояние от центра $B$ до прямой $AC$ (длина $BH$) меньше радиуса $R_1 = BA$, то прямая $AC$ не является касательной к окружности с центром $B$ и радиусом $BA$. Она является секущей.

Аналогично рассмотрим прямоугольный треугольник $CBH$ ($\angle BHC = 90^\circ$). В нем сторона $BC$ — гипотенуза, а $BH$ — катет. Следовательно, $BH < BC$.

Расстояние от центра $B$ до прямой $AC$ (длина $BH$) меньше радиуса $R_2 = BC$. Значит, прямая $AC$ не является касательной и к окружности с центром $B$ и радиусом $BC$.

Таким образом, прямая $AC$ не является касательной ни к одной из указанных окружностей.

Ответ: Что и требовалось доказать.

357 Дана окружность с центром в точке О. Прямая пересекает окружность в точках A и H. Найдите расстояние от точки О до прямой, если AH = 8 см, ∠AOH = 90°.

Рассмотрим треугольник $AOH$. Так как точки $A$ и $H$ лежат на окружности с центром в точке $O$, отрезки $OA$ и $OH$ являются радиусами этой окружности. Следовательно, $OA = OH$, и треугольник $AOH$ является равнобедренным.

Расстояние от точки $O$ до прямой $AH$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $O$ на прямую $AH$. Обозначим основание этого перпендикуляра точкой $K$. Таким образом, искомое расстояние равно длине отрезка $OK$, причем $OK \perp AH$.

В равнобедренном треугольнике $AOH$ высота $OK$, проведенная к основанию $AH$, является также медианой и биссектрисой.

1. Так как $OK$ является медианой, она делит основание $AH$ пополам. $AK = KH = \frac{AH}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.

2. Так как $OK$ является биссектрисой, она делит угол $AOH$ пополам. $\angle AOK = \frac{\angle AOH}{2} = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$.

3. Рассмотрим треугольник $AOK$. Он прямоугольный, так как $OK \perp AH$ по построению, следовательно, $\angle OKA = 90^\circ$. Мы нашли, что $\angle AOK = 45^\circ$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому третий угол $\angle OAK = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.

4. Поскольку в треугольнике $AOK$ два угла равны ($\angle AOK = \angle OAK = 45^\circ$), он является равнобедренным. Стороны, лежащие напротив равных углов, равны, то есть $OK = AK$.

Так как мы ранее вычислили, что $AK = 4$ см, то и $OK = 4$ см.

Ответ: 4 см.

358 Постройте касательную к данной окружности, параллельную к данной прямой.

Для решения этой задачи необходимо выполнить следующие шаги, основанные на свойствах касательной к окружности.

Анализ

Пусть дана окружность $\omega$ с центром в точке $O$ и прямая $a$. Нам нужно построить касательную $b$ к окружности $\omega$, которая параллельна прямой $a$.
Основное свойство касательной заключается в том, что она перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Пусть $M$ — точка касания искомой прямой $b$ с окружностью. Тогда радиус $OM$ должен быть перпендикулярен касательной $b$ ($OM \perp b$).
По условию, касательная $b$ должна быть параллельна прямой $a$ ($b \parallel a$).
Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна этой третьей прямой. Следовательно, если $b \parallel a$ и $OM \perp b$, то $OM \perp a$.
Таким образом, точка касания $M$ должна лежать на прямой, проходящей через центр окружности $O$ и перпендикулярной данной прямой $a$. Это наблюдение является ключом к построению.

Построение

1. Проведем через центр окружности $O$ прямую $d$, перпендикулярную данной прямой $a$. Это базовое построение с помощью циркуля и линейки (из точки, не лежащей на прямой, опускается перпендикуляр на эту прямую).

2. Построенная прямая $d$ пересечет окружность в двух диаметрально противоположных точках. Назовем их $M_1$ и $M_2$. Эти точки и будут искомыми точками касания.

3. Через точку $M_1$ проведем прямую $b_1$, перпендикулярную прямой $d$ (а значит, и радиусу $OM_1$).

4. Аналогично, через точку $M_2$ проведем прямую $b_2$, перпендикулярную прямой $d$ (радиусу $OM_2$).

Прямые $b_1$ и $b_2$ являются искомыми касательными.

Доказательство

Докажем, что построенные прямые $b_1$ и $b_2$ удовлетворяют условиям задачи.
1. Прямая $b_1$ проходит через точку $M_1$ на окружности и по построению перпендикулярна радиусу $OM_1$. По определению, прямая, перпендикулярная радиусу в его точке, лежащей на окружности, является касательной к этой окружности. Следовательно, $b_1$ — касательная.
2. По построению, прямая $d \perp a$ и прямая $b_1 \perp d$. По теореме о двух прямых, перпендикулярных третьей, прямые $a$ и $b_1$ параллельны ($a \parallel b_1$).
Таким образом, прямая $b_1$ является касательной к окружности и параллельна прямой $a$. Аналогичные рассуждения верны и для прямой $b_2$.
Задача всегда имеет два решения, так как прямая, проходящая через центр окружности, пересекает ее в двух точках.

Ответ: Задача решается путем построения диаметра, перпендикулярного данной прямой. Через концы этого диаметра проводятся прямые, перпендикулярные ему. Эти две прямые и являются искомыми касательными. Задача всегда имеет два решения.

359 Постройте касательную к данной окружности, перпендикулярную к данной прямой.

Анализ

Пусть дана окружность $\omega$ с центром в точке $O$ и радиусом $R$, и дана прямая $a$. Требуется построить прямую $t$, которая является касательной к окружности $\omega$ и перпендикулярна прямой $a$.

Пусть $t$ — искомая касательная, а $T$ — ее точка касания с окружностью $\omega$.

Известны два свойства, которым должна удовлетворять прямая $t$:

1. По свойству касательной, она перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. То есть, $t \perp OT$.
2. По условию задачи, касательная $t$ также должна быть перпендикулярна данной прямой $a$. То есть, $t \perp a$.

Итак, мы имеем, что и прямая, содержащая радиус $OT$, и данная прямая $a$ перпендикулярны одной и той же прямой $t$. Из этого следует, что прямая $OT$ должна быть параллельна прямой $a$.

Таким образом, задача сводится к нахождению на окружности такой точки (или точек) $T$, что радиус $OT$ лежит на прямой, параллельной данной прямой $a$. Через эти точки и будут проходить искомые касательные.

Построение

Алгоритм построения с помощью циркуля и линейки:

1. Проведем через центр окружности $O$ прямую $d$, параллельную данной прямой $a$. Стандартный способ сделать это:
   • Сначала из точки $O$ опустим перпендикуляр на прямую $a$. Назовем эту вспомогательную прямую $h$. Таким образом, $h \perp a$.
   • Затем в точке $O$ построим прямую $d$, перпендикулярную прямой $h$.
   • Поскольку обе прямые, $d$ и $a$, перпендикулярны прямой $h$, они параллельны друг другу: $d \parallel a$.
2. Прямая $d$ проходит через центр окружности $O$, следовательно, является ее диаметром. Она пересекает окружность в двух точках. Назовем их $T_1$ и $T_2$. Это и есть искомые точки касания.
3. Теперь построим касательные. Через точки $T_1$ и $T_2$ проведем прямые, перпендикулярные прямой $d$ (которая является диаметром и содержит радиусы $OT_1$ и $OT_2$).
   • Через точку $T_1$ проведем прямую $t_1$ так, что $t_1 \perp d$.
   • Через точку $T_2$ проведем прямую $t_2$ так, что $t_2 \perp d$.

Прямые $t_1$ и $t_2$ являются искомыми касательными. Как правило, задача имеет два решения.

Доказательство

Проверим, что построенная прямая $t_1$ удовлетворяет условиям задачи.

1. Прямая $t_1$ проходит через точку $T_1$ на окружности и по построению перпендикулярна радиусу $OT_1$ (так как $OT_1$ лежит на прямой $d$, а $t_1 \perp d$). Следовательно, $t_1$ является касательной к окружности $\omega$ в точке $T_1$.
2. Мы построили прямую $d$ параллельно прямой $a$ ($d \parallel a$). Мы также построили прямую $t_1$ перпендикулярно прямой $d$ ($t_1 \perp d$). Существует теорема, гласящая, что если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и второй. Отсюда следует, что $t_1 \perp a$.

Таким образом, прямая $t_1$ является касательной к окружности и перпендикулярна прямой $a$. Аналогичное доказательство справедливо и для прямой $t_2$.

Ответ: Чтобы построить касательную к данной окружности, перпендикулярную данной прямой, необходимо выполнить следующие действия:

1. Построить диаметр окружности, параллельный данной прямой.
2. В точках пересечения этого диаметра с окружностью построить прямые, перпендикулярные этому диаметру.

Построенные прямые будут искомыми касательными.

360 Постройте прямоугольный треугольник по данной гипотенузе и проведённой к ней высоте.

Пусть даны два отрезка: отрезок $c$, равный длине гипотенузы, и отрезок $h$, равный длине высоты, проведенной к гипотенузе.

Анализ

Предположим, что искомый прямоугольный треугольник $ABC$ построен. Пусть $\angle C = 90^\circ$, гипотенуза $AB$ имеет длину $c$, а высота $CD$, опущенная на гипотенузу, имеет длину $h$.

Из свойств прямоугольного треугольника известно, что вершина прямого угла лежит на окружности, диаметром которой является гипотенуза. Это означает, что точка $C$ должна принадлежать окружности, построенной на отрезке $AB$ как на диаметре.

Также, по определению высоты, точка $C$ должна быть удалена от прямой, содержащей гипотенузу $AB$, на расстояние $h$. Геометрическое место точек, равноудаленных от данной прямой, — это две прямые, параллельные данной.

Следовательно, искомая вершина $C$ является точкой пересечения двух геометрических мест: окружности с диаметром $AB$ и прямой, параллельной $AB$ и отстоящей от нее на расстояние $h$.

Построение

1. На произвольной прямой откладываем отрезок $AB$, равный по длине данному отрезку $c$.
2. Находим середину $O$ отрезка $AB$ (например, с помощью построения серединного перпендикуляра).
3. Строим окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R = OA = \frac{c}{2}$.
4. Строим прямую $l$, параллельную прямой $AB$ и находящуюся на расстоянии $h$ от нее. Для этого можно в любой точке на $AB$ (например, в точке $A$) восстановить перпендикуляр, отложить на нем отрезок длиной $h$ и через его конец провести прямую, параллельную $AB$.
5. Прямая $l$ пересечет окружность в одной или двух точках (если $h \le \frac{c}{2}$). Обозначим одну из точек пересечения как $C$.
6. Соединяем точку $C$ с точками $A$ и $B$. Полученный треугольник $ABC$ является искомым.

Доказательство

В построенном треугольнике $ABC$ сторона $AB$ по построению равна $c$. Угол $\angle ACB$ — вписанный и опирается на диаметр $AB$, следовательно, $\angle ACB = 90^\circ$. Таким образом, треугольник $ABC$ — прямоугольный с гипотенузой $AB$. Высота, опущенная из вершины $C$ на прямую $AB$, по построению равна расстоянию от точки $C$ до прямой $AB$, то есть $h$, так как точка $C$ лежит на прямой $l$, параллельной $AB$ и удаленной от нее на $h$. Следовательно, треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование

Количество решений задачи зависит от взаимного расположения окружности радиусом $R = \frac{c}{2}$ и прямой $l$, удаленной от центра окружности на расстояние $h$.

• Если $h > \frac{c}{2}$, то прямая и окружность не имеют общих точек. В этом случае задача не имеет решений.
• Если $h = \frac{c}{2}$, прямая касается окружности в одной точке. Эта точка является вершиной искомого треугольника. В этом случае решение единственно (получится равнобедренный прямоугольный треугольник).
• Если $h < \frac{c}{2}$, прямая пересекает окружность в двух точках $C_1$ и $C_2$. Треугольники $ABC_1$ и $ABC_2$ будут равны (они симметричны относительно серединного перпендикуляра к $AB$). Таким образом, с точностью до равенства треугольников, решение также единственно.

Таким образом, задача имеет решение только при условии $h \le \frac{c}{2}$.

Ответ: Алгоритм построения заключается в нахождении вершины прямого угла как точки пересечения окружности, построенной на гипотенузе как на диаметре, и прямой, параллельной гипотенузе и отстоящей от нее на расстояние, равное высоте. Задача имеет решение тогда и только тогда, когда длина высоты не превышает половину длины гипотенузы ($h \le c/2$).

361 Постройте прямоугольный треугольник по медиане и высоте, проведённым к гипотенузе.

Для построения прямоугольного треугольника по заданным медиане $m$ и высоте $h$, проведённым к гипотенузе, решение можно разбить на следующие этапы: анализ, построение, доказательство и исследование.

Пусть искомый прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$ построен. $AB$ – его гипотенуза. $CM = m$ – медиана, проведённая к гипотенузе, а $CH = h$ – высота, проведённая к гипотенузе. Точка $M$ – середина гипотенузы $AB$, а точка $H$ лежит на прямой $AB$.

Известно свойство прямоугольного треугольника: медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Следовательно, $CM = AM = BM = m$. Это означает, что точка $M$ является центром окружности, описанной около треугольника $ABC$, и её радиус равен $m$. Все три вершины $A$, $B$, $C$ лежат на этой окружности.

Высота $CH$ перпендикулярна гипотенузе $AB$. Это означает, что вершина $C$ находится на расстоянии $h$ от прямой, содержащей гипотенузу $AB$.

Таким образом, вершина $C$ должна удовлетворять двум условиям:

1. Принадлежать окружности с центром в точке $M$ (середине будущей гипотенузы) и радиусом $m$.
2. Принадлежать прямой, параллельной будущей гипотенузе $AB$ и находящейся на расстоянии $h$ от неё.

Эти два геометрических места точек позволяют определить положение вершины $C$ относительно гипотенузы $AB$.

Пусть даны два отрезка: один длиной $m$ (медиана) и другой длиной $h$ (высота).

1. Построим окружность $\omega$ с произвольным центром $M$ и радиусом, равным отрезку $m$.
2. Проведём через центр $M$ произвольную прямую $a$. Точки её пересечения с окружностью $\omega$ обозначаем $A$ и $B$. Отрезок $AB$ будет гипотенузой искомого треугольника. Его длина равна $2m$.
3. Построим прямую $b$, параллельную прямой $a$ и отстоящую от неё на расстояние $h$. Для этого:
   • В точке $M$ восстановим перпендикуляр к прямой $a$.
   • На этом перпендикуляре отложим отрезок $MK$ длиной $h$.
   • Через точку $K$ проведём прямую $b$, перпендикулярную отрезку $MK$ (и, следовательно, параллельную $a$).
4. Прямая $b$ пересечёт окружность $\omega$ в одной или двух точках. Обозначим одну из этих точек пересечения как $C$. Если $h > m$, пересечения не будет, и задача не имеет решений.
5. Соединим точку $C$ с точками $A$ и $B$. Полученный треугольник $ABC$ является искомым.

Рассмотрим построенный треугольник $ABC$.

• По построению, точка $C$ лежит на окружности с диаметром $AB$. Следовательно, вписанный угол $\angle ACB$, опирающийся на диаметр, равен $90^\circ$. Таким образом, треугольник $ABC$ – прямоугольный.
• По построению, $M$ – середина отрезка $AB$. Следовательно, отрезок $CM$ является медианой, проведённой к гипотенузе. Длина $CM$ равна радиусу окружности $\omega$, то есть $CM = m$.
• Расстояние от точки $C$ до прямой $AB$ по построению равно расстоянию между параллельными прямыми $b$ и $a$, которое мы задали равным $h$. Следовательно, высота, опущенная из вершины $C$ на гипотенузу $AB$, равна $h$.

Таким образом, построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Задача имеет решение, если окружность $\omega$ и прямая $b$ пересекаются. Это происходит, когда расстояние от центра окружности $M$ до прямой $b$ не превышает радиуса окружности. Расстояние это равно $h$, а радиус равен $m$. Таким образом, условие существования решения: $h \le m$.

• Если $h < m$, прямая $b$ пересекает окружность в двух точках. Это даёт два симметричных относительно прямой $MK$ решения, но полученные треугольники будут конгруэнтны. Следовательно, с точностью до конгруэнтности решение единственно.
• Если $h = m$, прямая $b$ касается окружности в одной точке (точке $K$). В этом случае вершина $C$ совпадает с $K$, основание высоты $H$ совпадает с центром $M$, и треугольник $ABC$ является равнобедренным прямоугольным треугольником. Решение единственно.
• Если $h > m$, прямая $b$ и окружность не имеют общих точек, и построение невозможно. Задача не имеет решений.

Ответ: Построение возможно при условии, что длина медианы не меньше длины высоты ($m \ge h$). Искомый треугольник строится путём нахождения вершины прямого угла как точки пересечения окружности (центр которой — середина будущей гипотенузы, а радиус равен медиане) и прямой, параллельной гипотенузе и удалённой от неё на расстояние, равное высоте.

362 Постройте серединный перпендикуляр к данному отрезку.

Решение

Пусть AB — данный отрезок. Построим две окружности с центрами в точках А и B радиуса AB (рис. 168). Эти окружности пересекаются в двух точках М₁ и М₂. Отрезки АМ₁, АМ₂, ВМ₁, ВМ₂ равны друг другу как радиусы этих окружностей.

Проведём прямую М₁M₂. Она является искомым серединным перпендикуляром к отрезку AB. В самом деле, точки М₁ и М₂ равноудалены от концов отрезка AB, поэтому они лежат на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Значит, прямая М₁М₂ и есть серединный перпендикуляр к отрезку AB.

Решение

Задача состоит в том, чтобы построить прямую, которая проходит через середину отрезка $AB$ и перпендикулярна ему. Такая прямая называется серединным перпендикуляром. Построение основано на свойстве, что любая точка серединного перпендикуляра равноудалена от концов отрезка.

Пусть нам дан отрезок $AB$. Алгоритм построения будет следующим:

1. С помощью циркуля построим окружность с центром в точке $A$ и радиусом, равным длине отрезка $AB$.
2. Не меняя раствора циркуля, построим вторую окружность с центром в точке $B$ и тем же радиусом $AB$.
3. Эти две окружности пересекутся в двух точках. Назовем их $M_1$ и $M_2$.
4. С помощью линейки проведем прямую через точки $M_1$ и $M_2$.

Полученная прямая $M_1M_2$ и есть искомый серединный перпендикуляр к отрезку $AB$.

Доказательство:

Рассмотрим точку $M_1$. По построению, она принадлежит окружности с центром $A$ и радиусом $AB$, следовательно, расстояние от $A$ до $M_1$ равно $AB$, то есть $AM_1 = AB$. Также точка $M_1$ принадлежит окружности с центром $B$ и радиусом $AB$, следовательно, $BM_1 = AB$. Таким образом, мы получаем, что $AM_1 = BM_1$. Это означает, что точка $M_1$ равноудалена от концов отрезка $AB$.

Аналогичные рассуждения верны и для точки $M_2$. Она лежит на обеих окружностях, поэтому $AM_2 = AB$ и $BM_2 = AB$, из чего следует, что $AM_2 = BM_2$. Значит, точка $M_2$ также равноудалена от концов отрезка $AB$.

Множество всех точек плоскости, равноудаленных от концов отрезка, образует серединный перпендикуляр к этому отрезку. Так как обе точки $M_1$ и $M_2$ обладают этим свойством, они лежат на серединном перпендикуляре к отрезку $AB$.

По аксиоме геометрии, через две различные точки ($M_1$ и $M_2$) можно провести единственную прямую. Следовательно, прямая $M_1M_2$ и есть серединный перпендикуляр к отрезку $AB$.

Ответ: Прямая $M_1M_2$, проходящая через точки пересечения двух окружностей с центрами в концах отрезка $AB$ и радиусами, равными длине этого отрезка, является его серединным перпендикуляром.