Номер 348, страница 104 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Окружность. Касательная к окружности. 43. Вписанная и описанная окружности треугольника. Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры - номер 348, страница 104.

348 Две окружности с центрами О₁ и О₂ вписаны в угол. Одна из них касается его сторон в точках А и D, а вторая — в точках В и С. Докажите, что AB = CD.

Пусть M — вершина угла, а его стороны — два луча, выходящие из этой точки. Пусть первая окружность с центром $O_1$ касается сторон угла в точках A и D, а вторая окружность с центром $O_2$ — в точках B и C. Будем считать, что точки A и B лежат на одной стороне угла, а точки D и C — на другой.

Согласно свойству касательных, проведенных к окружности из одной точки, длины отрезков касательных от этой точки до точек касания равны. Применим это свойство для вершины угла M и обеих окружностей:

1. Для первой окружности (с точками касания A и D) отрезки касательных, проведенных из точки M, равны: $MA = MD$.

2. Для второй окружности (с точками касания B и C) отрезки касательных, проведенных из точки M, также равны: $MB = MC$.

Длина отрезка AB, который лежит на одной из сторон угла, представляет собой разность расстояний от вершины M до точек B и A. В зависимости от того, какая окружность ближе к вершине, это будет $MB - MA$ или $MA - MB$. В общем виде это можно записать как модуль разности: $AB = |MB - MA|$.

Аналогично, длина отрезка CD, лежащего на другой стороне угла, равна модулю разности расстояний от вершины M до точек C и D: $CD = |MC - MD|$.

Теперь подставим в выражение для длины отрезка CD ранее полученные равенства. Заменим $MC$ на $MB$ и $MD$ на $MA$:

$CD = |MC - MD| = |MB - MA|$.

Сравнивая выражения для длин отрезков AB и CD, мы видим, что они равны:

$AB = |MB - MA|$

$CD = |MB - MA|$

Следовательно, $AB = CD$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $AB = CD$ доказано.