Номер 352, страница 104 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Окружность. Касательная к окружности. 43. Вписанная и описанная окружности треугольника. Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры - номер 352, страница 104.

352 Даны окружность с центром О радиуса 4,5 см и точка А. Через точку А проведены две касательные к окружности. Найдите угол между ними, если ОА = 9 см.

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $r = 4,5$ см. Из точки $A$, не лежащей на окружности, проведены две касательные. Обозначим точки касания как $B$ и $C$. Угол между касательными — это угол $\angle BAC$.

По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен самой касательной. Таким образом, $OB \perp AB$ и $OC \perp AC$. Это означает, что треугольники $\triangle OBA$ и $\triangle OCA$ являются прямоугольными.

Рассмотрим один из этих прямоугольных треугольников, например, $\triangle OBA$. В нем:

• $\angle OBA = 90^\circ$ (так как $OB$ — радиус, а $AB$ — касательная).
• $OB$ — катет, равный радиусу окружности: $OB = 4,5$ см.
• $OA$ — гипотенуза, по условию $OA = 9$ см.

Найдем угол $\angle OAB$ с помощью тригонометрических функций. Синус угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:

$\sin(\angle OAB) = \frac{OB}{OA}$

Подставим известные значения:

$\sin(\angle OAB) = \frac{4,5}{9} = \frac{1}{2}$

Из этого следует, что $\angle OAB = 30^\circ$.

Треугольники $\triangle OBA$ и $\triangle OCA$ равны по катету и гипотенузе ($OB=OC$ как радиусы, $OA$ — общая гипотенуза). Следовательно, отрезок $OA$ является биссектрисой угла $\angle BAC$, образованного касательными.

Таким образом, искомый угол $\angle BAC$ в два раза больше угла $\angle OAB$:

$\angle BAC = 2 \cdot \angle OAB = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$

Ответ: $60^\circ$.