Номер 349, страница 104 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Окружность. Касательная к окружности. 43. Вписанная и описанная окружности треугольника. Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры - номер 349, страница 104.

349 Через точку А окружности проведены касательная и хорда, равная радиусу окружности. Найдите угол между ними.

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Через точку $A$ на окружности проведены касательная и хорда $AB$. По условию задачи, длина хорды равна радиусу, то есть $AB = R$.

Рассмотрим треугольник $\triangle OAB$. Его стороны $OA$ и $OB$ являются радиусами окружности, поэтому $OA = R$ и $OB = R$. Так как по условию и хорда $AB = R$, то все три стороны этого треугольника равны: $OA = OB = AB = R$.

Следовательно, треугольник $\triangle OAB$ является равносторонним. В равностороннем треугольнике все внутренние углы равны $60^\circ$. В частности, угол между хордой $AB$ и радиусом $OA$ равен $\angle OAB = 60^\circ$.

Воспользуемся свойством касательной к окружности: радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Таким образом, радиус $OA$ перпендикулярен касательной в точке $A$, и угол между ними составляет $90^\circ$.

Искомый угол между касательной и хордой $AB$ является одним из двух углов, которые они образуют. Острый угол можно найти как разность угла между касательной и радиусом и угла между хордой и радиусом:

$\alpha_{1} = 90^\circ - \angle OAB = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

Касательная и хорда образуют два угла, которые в сумме дают $180^\circ$. Второй, тупой угол, равен:

$\alpha_{2} = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$.

Оба значения являются решением задачи.

Ответ: $30^\circ$ или $150^\circ$.