Номер 356, страница 104 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Окружность. Касательная к окружности. 43. Вписанная и описанная окружности треугольника. Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры - номер 356, страница 104.

356 В треугольнике ABC угол В прямой. Докажите, что: а) прямая ВС является касательной к окружности с центром А радиуса AB; б) прямая AB является касательной к окружности с центром С радиуса СВ; в) прямая АС не является касательной к окружностям с центром В и радиусами ВA и BС.

а)

По условию, в треугольнике $ABC$ угол $B$ прямой, следовательно, $\angle ABC = 90^\circ$. Это означает, что сторона $AB$ перпендикулярна стороне $BC$, то есть $AB \perp BC$.

Рассмотрим окружность с центром в точке $A$ и радиусом $R = AB$. Прямая $BC$ проходит через точку $B$. Отрезок $AB$ является радиусом этой окружности, проведенным из центра $A$ в точку $B$, лежащую на прямой $BC$.

Согласно признаку касательной, если прямая, проходящая через точку на окружности, перпендикулярна радиусу, проведенному в эту точку, то эта прямая является касательной к окружности.

Так как прямая $BC$ проходит через точку $B$ и перпендикулярна радиусу $AB$, то прямая $BC$ является касательной к окружности с центром в точке $A$ и радиусом $AB$. Точка $B$ — точка касания.

Ответ: Что и требовалось доказать.

б)

Рассмотрим окружность с центром в точке $C$ и радиусом $R = CB$. Прямая $AB$ проходит через точку $B$. Отрезок $CB$ является радиусом этой окружности, проведенным из центра $C$ в точку $B$.

Из условия известно, что $\angle ABC = 90^\circ$, значит $CB \perp AB$.

Поскольку прямая $AB$ проходит через точку $B$ на окружности и перпендикулярна радиусу $CB$, проведенному в эту точку, то по признаку касательной прямая $AB$ является касательной к окружности с центром в точке $C$ и радиусом $CB$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

в)

Рассмотрим прямую $AC$ и две окружности с центром в точке $B$: первую с радиусом $R_1 = BA$ и вторую с радиусом $R_2 = BC$.

Прямая является касательной к окружности, если расстояние от центра окружности до этой прямой равно ее радиусу.

Найдем расстояние от центра $B$ до прямой $AC$. Для этого опустим перпендикуляр $BH$ из точки $B$ на прямую $AC$. Длина отрезка $BH$ и есть искомое расстояние.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$ (по построению $\angle BHA = 90^\circ$). В этом треугольнике сторона $BA$ является гипотенузой, а $BH$ — катетом. В прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда длиннее катета, поэтому $BH < BA$.

Так как расстояние от центра $B$ до прямой $AC$ (длина $BH$) меньше радиуса $R_1 = BA$, то прямая $AC$ не является касательной к окружности с центром $B$ и радиусом $BA$. Она является секущей.

Аналогично рассмотрим прямоугольный треугольник $CBH$ ($\angle BHC = 90^\circ$). В нем сторона $BC$ — гипотенуза, а $BH$ — катет. Следовательно, $BH < BC$.

Расстояние от центра $B$ до прямой $AC$ (длина $BH$) меньше радиуса $R_2 = BC$. Значит, прямая $AC$ не является касательной и к окружности с центром $B$ и радиусом $BC$.

Таким образом, прямая $AC$ не является касательной ни к одной из указанных окружностей.

Ответ: Что и требовалось доказать.