Номер 363, страница 105 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Окружность. Касательная к окружности. 43. Вписанная и описанная окружности треугольника. Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры - номер 363, страница 105.

363 Отметьте три точки, не лежащие на одной прямой, и постройте окружность, проходящую через эти точки.

Для построения окружности, проходящей через три заданные точки, не лежащие на одной прямой, необходимо найти ее центр и радиус. Центр окружности — это точка, равноудаленная от всех трех заданных точек.

Пусть даны три точки $A$, $B$ и $C$, которые не лежат на одной прямой. Они образуют вершины треугольника $ABC$. Окружность, проходящая через эти точки, называется описанной окружностью треугольника $ABC$.

Свойство серединного перпендикуляра к отрезку гласит, что любая точка серединного перпендикуляра равноудалена от концов этого отрезка. Следовательно, центр окружности, равноудаленный от точек $A$, $B$ и $C$, должен лежать на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника $ABC$. Для нахождения центра достаточно построить два таких перпендикуляра.

Пошаговый алгоритм построения:

1. На плоскости отметьте три точки $A$, $B$ и $C$, не лежащие на одной прямой.
2. С помощью линейки соедините точки, чтобы получить два отрезка, например, $AB$ и $BC$.
3. Построение серединного перпендикуляра к отрезку $AB$:
   • Установите раствор циркуля больше половины длины отрезка $AB$.
   • Поставьте острие циркуля в точку $A$ и проведите дугу.
   • Не меняя раствора циркуля, поставьте острие в точку $B$ и проведите вторую дугу так, чтобы она пересекла первую в двух местах.
   • Через две точки пересечения дуг проведите прямую. Эта прямая является серединным перпендикуляром к отрезку $AB$.
4. Построение серединного перпендикуляра к отрезку $BC$:
   • Аналогичным образом постройте серединный перпендикуляр к отрезку $BC$. Установите раствор циркуля больше половины длины $BC$ и проведите пересекающиеся дуги из точек $B$ и $C$.
   • Проведите прямую через точки пересечения этих дуг.
5. Нахождение центра и радиуса:
   • Точка пересечения двух построенных серединных перпендикуляров является центром $O$ искомой окружности. Эта точка равноудалена от точек $A$, $B$ и $C$, то есть $OA = OB = OC$.
   • Расстояние от центра $O$ до любой из трех точек ($A$, $B$ или $C$) является радиусом $R$ окружности.
6. Построение окружности:
   • Поставьте острие циркуля в найденный центр $O$.
   • Установите раствор циркуля равным радиусу $R=OA$ (или $OB$, или $OC$).
   • Проведите окружность. Она пройдет через все три точки $A$, $B$ и $C$.

Ответ: Для построения окружности по трем точкам, не лежащим на одной прямой, необходимо найти точку пересечения серединных перпендикуляров к двум отрезкам, соединяющим эти точки. Найденная точка будет центром окружности, а расстояние от нее до любой из заданных точек — радиусом. Построенная таким образом окружность будет единственной.