Номер 369, страница 106 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Окружность. Касательная к окружности. 43. Вписанная и описанная окружности треугольника. Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры - номер 369, страница 106.

369 Докажите, что центром окружности, описанной около прямоугольного треугольника, является середина гипотенузы.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$ ($\angle C = 90^\circ$). $AB$ – это гипотенуза, а $AC$ и $BC$ – катеты. Требуется доказать, что центр окружности, описанной около треугольника $ABC$, совпадает с серединой гипотенузы $AB$.

Центр описанной окружности – это точка, равноудаленная от всех вершин треугольника. Обозначим середину гипотенузы $AB$ как точку $O$. По определению точки $O$ как середины отрезка $AB$, мы уже имеем равенство $OA = OB$. Таким образом, для доказательства нам необходимо показать, что и третья вершина $C$ находится на таком же расстоянии от точки $O$, то есть что $OC = OA = OB$.

Доказательство:

1. Достроим наш прямоугольный треугольник $ABC$ до прямоугольника. Для этого проведем через вершину $A$ прямую, параллельную катету $BC$, и через вершину $B$ – прямую, параллельную катету $AC$. Точку пересечения этих прямых обозначим $D$.

2. Полученная фигура $ACBD$ является прямоугольником. Это следует из того, что ее противоположные стороны попарно параллельны по построению ($AC \parallel BD$ и $BC \parallel AD$), значит, $ACBD$ – параллелограмм. А так как у этого параллелограмма есть прямой угол ($\angle C = 90^\circ$), то он является прямоугольником.

3. Отрезки $AB$ и $CD$ являются диагоналями этого прямоугольника. Воспользуемся известным свойством прямоугольника: его диагонали равны и в точке пересечения делятся пополам.

4. Точка $O$ является серединой гипотенузы $AB$, которая, в свою очередь, является диагональю прямоугольника $ACBD$. Следовательно, точка $O$ и есть точка пересечения диагоналей.

5. Согласно свойству диагоналей прямоугольника, точка их пересечения делит их на равные отрезки. Значит, $OA = OB = OC = OD$.

6. Из равенства $OA = OB = OC$ следует, что точка $O$ равноудалена от всех трех вершин треугольника $ABC$.

7. По определению, точка, равноудаленная от всех вершин треугольника, является центром его описанной окружности. Следовательно, точка $O$, которая является серединой гипотенузы, и есть искомый центр.

Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, является серединой его гипотенузы. Это следует из того, что если достроить прямоугольный треугольник до прямоугольника, его гипотенуза станет диагональю этого прямоугольника. Центр описанной окружности совпадет с точкой пересечения диагоналей, которая, по свойству прямоугольника, является серединой каждой из них, в том числе и гипотенузы. Следовательно, середина гипотенузы равноудалена от всех трех вершин треугольника.