Номер 372, страница 106 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Окружность. Касательная к окружности. 43. Вписанная и описанная окружности треугольника. Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры - номер 372, страница 106.

372 Найдите диаметр окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, если гипотенуза треугольника равна с, а сумма катетов m.

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$, а гипотенуза равна $c$. Согласно условию задачи, у нас есть два соотношения:

1. Гипотенуза равна $c$.

2. Сумма катетов равна $m$, то есть $a + b = m$.

Для нахождения диаметра вписанной окружности сначала найдем ее радиус $r$. Существует известная формула для радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник:

$r = \frac{a + b - c}{2}$

Эта формула получается из свойства касательных к окружности, проведенных из одной точки. Если из вершин треугольника провести отрезки к точкам касания вписанной окружности, то мы получим три пары равных отрезков. У вершины прямого угла эти отрезки равны радиусу $r$. У двух других вершин отрезки равны $a - r$ и $b - r$. Сумма этих двух отрезков составляет гипотенузу $c$:

$(a - r) + (b - r) = c$

$a + b - 2r = c$

$2r = a + b - c$

$r = \frac{a + b - c}{2}$

Теперь мы можем использовать данные из условия задачи. Подставим значение суммы катетов $a + b = m$ в эту формулу:

$r = \frac{m - c}{2}$

Задача требует найти диаметр $d$ вписанной окружности. Диаметр связан с радиусом соотношением $d = 2r$.

Подставим найденное выражение для радиуса $r$:

$d = 2 \cdot \left(\frac{m - c}{2}\right)$

Сокращая на 2, получаем окончательное выражение для диаметра:

$d = m - c$

Ответ: $m - c$