Номер 375, страница 110 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

45. Осевая симметрия и её свойства. § 3. Симметричные фигуры. Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры - номер 375, страница 110.

375 Начертите прямую l. Отметьте точку А, не лежащую на этой прямой. Постройте точку А₁, симметричную точке А, с помощью одного циркуля.

Для построения точки $A_1$, симметричной точке $A$ относительно прямой $l$ с помощью одного только циркуля, необходимо выполнить следующую последовательность действий. Подразумевается, что прямая $l$ задана, и мы можем выбирать на ней любые точки.

1. Выбираем на прямой $l$ две произвольные различные точки и назовем их $C$ и $D$.

2. Устанавливаем ножку циркуля в точку $C$ и проводим окружность (или ее дугу), проходящую через точку $A$. Радиус этой окружности равен длине отрезка $CA$.

3. Затем устанавливаем ножку циркуля в точку $D$ и проводим вторую окружность (или ее дугу), также проходящую через точку $A$. Радиус этой окружности равен длине отрезка $DA$.

4. Две построенные окружности пересекутся в двух точках. Одна из этих точек — это исходная точка $A$. Вторая точка пересечения и является искомой точкой $A_1$.

Данное построение является верным, так как оно основывается на определении симметричных точек и свойстве серединного перпендикуляра. Точка $A_1$ называется симметричной точке $A$ относительно прямой $l$, если прямая $l$ является серединным перпендикуляром к отрезку $AA_1$. В нашем построении точка $C$ равноудалена от $A$ и $A_1$ (поскольку $CA$ и $CA_1$ являются радиусами одной и той же окружности, то $CA = CA_1$), и точка $D$ также равноудалена от $A$ и $A_1$ (по аналогичной причине, $DA = DA_1$). Геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от концов отрезка, — это его серединный перпендикуляр. Поскольку обе точки $C$ и $D$ принадлежат этому множеству для отрезка $AA_1$ и в то же время лежат на прямой $l$, то прямая $l$ и есть серединный перпендикуляр к отрезку $AA_1$. Следовательно, построенная точка $A_1$ является искомой.

Ответ: Для построения точки $A_1$, симметричной точке $A$ относительно прямой $l$ с помощью одного циркуля, необходимо выбрать на прямой $l$ две произвольные точки $C$ и $D$, построить окружность с центром в $C$, проходящую через $A$, и окружность с центром в $D$, также проходящую через $A$. Вторая точка пересечения этих окружностей (кроме точки $A$) и будет искомой точкой $A_1$.