Номер 370, страница 106 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Окружность. Касательная к окружности. 43. Вписанная и описанная окружности треугольника. Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры - номер 370, страница 106.

370 Стороны угла ВАС, равного 60°, касаются окружности с центром О. Найдите длину отрезка ОА, если радиус окружности равен 5 см.

Пусть дан угол $BAC$, равный $60^\circ$. Окружность с центром в точке $O$ и радиусом $r = 5$ см касается сторон угла $AB$ и $AC$. Обозначим точку касания на стороне $AC$ как $N$. Нам необходимо найти длину отрезка $OA$.

По свойству окружности, вписанной в угол, ее центр $O$ лежит на биссектрисе этого угла. Следовательно, луч $AO$ является биссектрисой угла $BAC$. Это означает, что угол $OAN$ (он же $OAC$) равен половине угла $BAC$:
$\angle OAN = \frac{\angle BAC}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$.

Проведем радиус $ON$ в точку касания $N$. По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Таким образом, $ON \perp AC$, и треугольник $OAN$ является прямоугольным с прямым углом $\angle ONA = 90^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $OAN$ нам известны:
1. Катет $ON$, который является радиусом окружности: $ON = r = 5$ см.
2. Угол $\angle OAN = 30^\circ$, противолежащий катету $ON$.

Для нахождения гипотенузы $OA$ можно использовать свойство прямоугольного треугольника с углом $30^\circ$. Катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы.
Следовательно, $ON = \frac{1}{2} OA$.

Выразим из этой формулы длину $OA$:
$OA = 2 \cdot ON = 2 \cdot 5 = 10$ см.

Также можно использовать определение синуса угла в прямоугольном треугольнике $OAN$:
$\sin(\angle OAN) = \frac{ON}{OA}$

Подставим известные значения:
$\sin(30^\circ) = \frac{5}{OA}$

Так как значение $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем уравнение:
$\frac{1}{2} = \frac{5}{OA}$

Решая уравнение, находим $OA$:
$OA = 5 \cdot 2 = 10$ см.

Ответ: 10 см.