Номер 366, страница 105 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Окружность. Касательная к окружности. 43. Вписанная и описанная окружности треугольника. Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры - номер 366, страница 105.

366 Докажите, что для равностороннего треугольника центры вписанной и описанной окружностей совпадают.

Пусть дан равносторонний треугольник $ABC$. По определению, в этом треугольнике все стороны равны ($AB = BC = CA$) и все углы равны $60^\circ$ ($ \angle A = \angle B = \angle C = 60^\circ $).

Центром вписанной в треугольник окружности является точка пересечения его биссектрис. Центром описанной около треугольника окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Для доказательства совпадения этих центров в равностороннем треугольнике достаточно показать, что каждая биссектриса в нем является также и серединным перпендикуляром.

Проведем биссектрису $AM$ из вершины $A$ к стороне $BC$. Рассмотрим треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle ACM$. В этих треугольниках сторона $AM$ — общая, $AB = AC$ как стороны равностороннего треугольника, а $ \angle BAM = \angle CAM = 30^\circ $, так как $AM$ — биссектриса угла $A$.

Следовательно, $\triangle ABM = \triangle ACM$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников следует, что $BM = CM$ и $ \angle AMB = \angle AMC $.

Равенство $BM = CM$ означает, что $AM$ является медианой, то есть точка $M$ — середина стороны $BC$. Углы $\angle AMB$ и $\angle AMC$ являются смежными, и их сумма равна $180^\circ$. Так как они равны, то каждый из них равен $90^\circ$. Это означает, что $AM$ является высотой, то есть $AM \perp BC$.

Таким образом, отрезок $AM$ одновременно является биссектрисой, медианой и высотой. Поскольку $AM$ проходит через середину стороны $BC$ и перпендикулярен ей, он является серединным перпендикуляром к стороне $BC$.

Аналогично можно доказать, что биссектрисы, проведенные из вершин $B$ и $C$, также являются серединными перпендикулярами к сторонам $AC$ и $AB$ соответственно.

Так как биссектрисы в равностороннем треугольнике совпадают с серединными перпендикулярами, то точка их пересечения является одной и той же. Эта точка и есть общий центр для вписанной и описанной окружностей. Что и требовалось доказать.

Ответ: В равностороннем треугольнике биссектрисы углов являются также серединными перпендикулярами к сторонам. Поскольку центр вписанной окружности есть точка пересечения биссектрис, а центр описанной окружности есть точка пересечения серединных перпендикуляров, то в равностороннем треугольнике эти центры совпадают.