Номер 365, страница 105 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Окружность. Касательная к окружности. 43. Вписанная и описанная окружности треугольника. Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры - номер 365, страница 105.

365 Начертите три треугольника: тупоугольный, прямоугольный и остроугольный. В каждый из них впишите окружность. Как расположен центр окружности относительно треугольника в каждом случае?

Чтобы вписать окружность в треугольник, необходимо найти ее центр. Центр вписанной в треугольник окружности — это точка пересечения его биссектрис. Эта точка называется инцентром, и она равноудалена от всех сторон треугольника. Рассмотрим ее расположение для каждого типа треугольника.

Тупоугольный треугольник

Начертим тупоугольный треугольник, то есть треугольник, у которого один из углов больше $90^\circ$. Для того чтобы вписать в него окружность, нужно найти центр этой окружности. Проведем биссектрисы всех трех внутренних углов треугольника. Биссектриса угла — это луч, который выходит из вершины угла и делит его на две равные части. Все три биссектрисы любого треугольника пересекаются в одной точке. В тупоугольном треугольнике, как и в любом другом, эта точка пересечения всегда находится внутри треугольника.

Ответ: В тупоугольном треугольнике центр вписанной окружности расположен внутри треугольника.

Прямоугольный треугольник

Начертим прямоугольный треугольник, один из углов которого равен $90^\circ$. Аналогично предыдущему случаю, проведем биссектрисы всех трех углов (прямого и двух острых). Точка их пересечения будет являться центром вписанной окружности. Для прямоугольного треугольника эта точка также всегда находится внутри него.

Ответ: В прямоугольном треугольнике центр вписанной окружности расположен внутри треугольника.

Остроугольный треугольник

Начертим остроугольный треугольник, у которого все три угла меньше $90^\circ$. Проведем биссектрисы его углов. Точка их пересечения — инцентр — будет центром вписанной окружности. В остроугольном треугольнике эта точка всегда находится внутри него.

Ответ: В остроугольном треугольнике центр вписанной окружности расположен внутри треугольника.

Вывод по задаче:

Центр вписанной в треугольник окружности является точкой пересечения биссектрис его внутренних углов. Так как биссектрисы углов треугольника всегда пересекаются внутри него, то и центр вписанной окружности для любого треугольника — тупоугольного, прямоугольного или остроугольного — всегда расположен внутри этого треугольника.