Номер 364, страница 105 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры. Параграф 2. Окружность. Касательная к окружности. 43. Вписанная и описанная окружности треугольника - номер 364, страница 105.

Условие.

364 Начертите три треугольника: тупоугольный, прямоугольный и остроугольный. Для каждого из них постройте описанную окружность. Как расположен центр окружности относительно треугольника в каждом случае?

Решение 1.

Решение 10.

Решение 11.

Центром описанной около треугольника окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Чтобы определить, как расположен центр окружности относительно треугольника, нужно рассмотреть три случая, в зависимости от вида треугольника.

Остроугольный треугольник

Остроугольный треугольник — это треугольник, у которого все три угла острые (то есть меньше $90^\circ$). Для построения центра описанной окружности необходимо провести серединные перпендикуляры к его сторонам. Серединный перпендикуляр — это прямая, перпендикулярная стороне и проходящая через её середину. В остроугольном треугольнике точка пересечения серединных перпендикуляров всегда находится внутри самого треугольника.

Ответ: центр описанной окружности остроугольного треугольника расположен внутри треугольника.

Прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один угол прямой (равен $90^\circ$). Сторона, лежащая напротив прямого угла, называется гипотенузой. Согласно свойству вписанных углов, прямой вписанный угол всегда опирается на диаметр окружности. Следовательно, гипотенуза прямоугольного треугольника является диаметром его описанной окружности. Центр окружности, в свою очередь, является серединой диаметра. Таким образом, центр описанной окружности прямоугольного треугольника — это середина его гипотенузы.

Ответ: центр описанной окружности прямоугольного треугольника расположен на середине гипотенузы.

Тупоугольный треугольник

Тупоугольный треугольник — это треугольник, у которого один из углов тупой (то есть больше $90^\circ$). Если построить серединные перпендикуляры к сторонам такого треугольника, то точка их пересечения будет находиться за пределами треугольника. Центр описанной окружности всегда лежит во внешней области по отношению к треугольнику, со стороны наибольшей стороны (которая лежит против тупого угла).

Ответ: центр описанной окружности тупоугольного треугольника расположен вне треугольника.