Номер 360, страница 104 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры. Параграф 2. Окружность. Касательная к окружности. 43. Вписанная и описанная окружности треугольника - номер 360, страница 104.

Условие.

360 Постройте прямоугольный треугольник по данной гипотенузе и проведённой к ней высоте.

Решение 1.

Решение 10.

Решение 11.

Пусть даны два отрезка: отрезок $c$, равный длине гипотенузы, и отрезок $h$, равный длине высоты, проведенной к гипотенузе.

Анализ

Предположим, что искомый прямоугольный треугольник $ABC$ построен. Пусть $\angle C = 90^\circ$, гипотенуза $AB$ имеет длину $c$, а высота $CD$, опущенная на гипотенузу, имеет длину $h$.

Из свойств прямоугольного треугольника известно, что вершина прямого угла лежит на окружности, диаметром которой является гипотенуза. Это означает, что точка $C$ должна принадлежать окружности, построенной на отрезке $AB$ как на диаметре.

Также, по определению высоты, точка $C$ должна быть удалена от прямой, содержащей гипотенузу $AB$, на расстояние $h$. Геометрическое место точек, равноудаленных от данной прямой, — это две прямые, параллельные данной.

Следовательно, искомая вершина $C$ является точкой пересечения двух геометрических мест: окружности с диаметром $AB$ и прямой, параллельной $AB$ и отстоящей от нее на расстояние $h$.

Построение

1. На произвольной прямой откладываем отрезок $AB$, равный по длине данному отрезку $c$.
2. Находим середину $O$ отрезка $AB$ (например, с помощью построения серединного перпендикуляра).
3. Строим окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R = OA = \frac{c}{2}$.
4. Строим прямую $l$, параллельную прямой $AB$ и находящуюся на расстоянии $h$ от нее. Для этого можно в любой точке на $AB$ (например, в точке $A$) восстановить перпендикуляр, отложить на нем отрезок длиной $h$ и через его конец провести прямую, параллельную $AB$.
5. Прямая $l$ пересечет окружность в одной или двух точках (если $h \le \frac{c}{2}$). Обозначим одну из точек пересечения как $C$.
6. Соединяем точку $C$ с точками $A$ и $B$. Полученный треугольник $ABC$ является искомым.

Доказательство

В построенном треугольнике $ABC$ сторона $AB$ по построению равна $c$. Угол $\angle ACB$ — вписанный и опирается на диаметр $AB$, следовательно, $\angle ACB = 90^\circ$. Таким образом, треугольник $ABC$ — прямоугольный с гипотенузой $AB$. Высота, опущенная из вершины $C$ на прямую $AB$, по построению равна расстоянию от точки $C$ до прямой $AB$, то есть $h$, так как точка $C$ лежит на прямой $l$, параллельной $AB$ и удаленной от нее на $h$. Следовательно, треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование

Количество решений задачи зависит от взаимного расположения окружности радиусом $R = \frac{c}{2}$ и прямой $l$, удаленной от центра окружности на расстояние $h$.

• Если $h > \frac{c}{2}$, то прямая и окружность не имеют общих точек. В этом случае задача не имеет решений.
• Если $h = \frac{c}{2}$, прямая касается окружности в одной точке. Эта точка является вершиной искомого треугольника. В этом случае решение единственно (получится равнобедренный прямоугольный треугольник).
• Если $h < \frac{c}{2}$, прямая пересекает окружность в двух точках $C_1$ и $C_2$. Треугольники $ABC_1$ и $ABC_2$ будут равны (они симметричны относительно серединного перпендикуляра к $AB$). Таким образом, с точностью до равенства треугольников, решение также единственно.

Таким образом, задача имеет решение только при условии $h \le \frac{c}{2}$.

Ответ: Алгоритм построения заключается в нахождении вершины прямого угла как точки пересечения окружности, построенной на гипотенузе как на диаметре, и прямой, параллельной гипотенузе и отстоящей от нее на расстояние, равное высоте. Задача имеет решение тогда и только тогда, когда длина высоты не превышает половину длины гипотенузы ($h \le c/2$).