Номер 359, страница 104 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Окружность. Касательная к окружности. 43. Вписанная и описанная окружности треугольника. Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры - номер 359, страница 104.

359 Постройте касательную к данной окружности, перпендикулярную к данной прямой.

Анализ

Пусть дана окружность $\omega$ с центром в точке $O$ и радиусом $R$, и дана прямая $a$. Требуется построить прямую $t$, которая является касательной к окружности $\omega$ и перпендикулярна прямой $a$.

Пусть $t$ — искомая касательная, а $T$ — ее точка касания с окружностью $\omega$.

Известны два свойства, которым должна удовлетворять прямая $t$:

1. По свойству касательной, она перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. То есть, $t \perp OT$.
2. По условию задачи, касательная $t$ также должна быть перпендикулярна данной прямой $a$. То есть, $t \perp a$.

Итак, мы имеем, что и прямая, содержащая радиус $OT$, и данная прямая $a$ перпендикулярны одной и той же прямой $t$. Из этого следует, что прямая $OT$ должна быть параллельна прямой $a$.

Таким образом, задача сводится к нахождению на окружности такой точки (или точек) $T$, что радиус $OT$ лежит на прямой, параллельной данной прямой $a$. Через эти точки и будут проходить искомые касательные.

Построение

Алгоритм построения с помощью циркуля и линейки:

1. Проведем через центр окружности $O$ прямую $d$, параллельную данной прямой $a$. Стандартный способ сделать это:
   • Сначала из точки $O$ опустим перпендикуляр на прямую $a$. Назовем эту вспомогательную прямую $h$. Таким образом, $h \perp a$.
   • Затем в точке $O$ построим прямую $d$, перпендикулярную прямой $h$.
   • Поскольку обе прямые, $d$ и $a$, перпендикулярны прямой $h$, они параллельны друг другу: $d \parallel a$.
2. Прямая $d$ проходит через центр окружности $O$, следовательно, является ее диаметром. Она пересекает окружность в двух точках. Назовем их $T_1$ и $T_2$. Это и есть искомые точки касания.
3. Теперь построим касательные. Через точки $T_1$ и $T_2$ проведем прямые, перпендикулярные прямой $d$ (которая является диаметром и содержит радиусы $OT_1$ и $OT_2$).
   • Через точку $T_1$ проведем прямую $t_1$ так, что $t_1 \perp d$.
   • Через точку $T_2$ проведем прямую $t_2$ так, что $t_2 \perp d$.

Прямые $t_1$ и $t_2$ являются искомыми касательными. Как правило, задача имеет два решения.

Доказательство

Проверим, что построенная прямая $t_1$ удовлетворяет условиям задачи.

1. Прямая $t_1$ проходит через точку $T_1$ на окружности и по построению перпендикулярна радиусу $OT_1$ (так как $OT_1$ лежит на прямой $d$, а $t_1 \perp d$). Следовательно, $t_1$ является касательной к окружности $\omega$ в точке $T_1$.
2. Мы построили прямую $d$ параллельно прямой $a$ ($d \parallel a$). Мы также построили прямую $t_1$ перпендикулярно прямой $d$ ($t_1 \perp d$). Существует теорема, гласящая, что если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и второй. Отсюда следует, что $t_1 \perp a$.

Таким образом, прямая $t_1$ является касательной к окружности и перпендикулярна прямой $a$. Аналогичное доказательство справедливо и для прямой $t_2$.

Ответ: Чтобы построить касательную к данной окружности, перпендикулярную данной прямой, необходимо выполнить следующие действия:

1. Построить диаметр окружности, параллельный данной прямой.
2. В точках пересечения этого диаметра с окружностью построить прямые, перпендикулярные этому диаметру.

Построенные прямые будут искомыми касательными.