Номер 357, страница 104 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Окружность. Касательная к окружности. 43. Вписанная и описанная окружности треугольника. Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры - номер 357, страница 104.

357 Дана окружность с центром в точке О. Прямая пересекает окружность в точках A и H. Найдите расстояние от точки О до прямой, если AH = 8 см, ∠AOH = 90°.

Рассмотрим треугольник $AOH$. Так как точки $A$ и $H$ лежат на окружности с центром в точке $O$, отрезки $OA$ и $OH$ являются радиусами этой окружности. Следовательно, $OA = OH$, и треугольник $AOH$ является равнобедренным.

Расстояние от точки $O$ до прямой $AH$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $O$ на прямую $AH$. Обозначим основание этого перпендикуляра точкой $K$. Таким образом, искомое расстояние равно длине отрезка $OK$, причем $OK \perp AH$.

В равнобедренном треугольнике $AOH$ высота $OK$, проведенная к основанию $AH$, является также медианой и биссектрисой.

1. Так как $OK$ является медианой, она делит основание $AH$ пополам. $AK = KH = \frac{AH}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.

2. Так как $OK$ является биссектрисой, она делит угол $AOH$ пополам. $\angle AOK = \frac{\angle AOH}{2} = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$.

3. Рассмотрим треугольник $AOK$. Он прямоугольный, так как $OK \perp AH$ по построению, следовательно, $\angle OKA = 90^\circ$. Мы нашли, что $\angle AOK = 45^\circ$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому третий угол $\angle OAK = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.

4. Поскольку в треугольнике $AOK$ два угла равны ($\angle AOK = \angle OAK = 45^\circ$), он является равнобедренным. Стороны, лежащие напротив равных углов, равны, то есть $OK = AK$.

Так как мы ранее вычислили, что $AK = 4$ см, то и $OK = 4$ см.

Ответ: 4 см.