Номер 350, страница 104 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Окружность. Касательная к окружности. 43. Вписанная и описанная окружности треугольника. Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры - номер 350, страница 104.

350 Через концы хорды AB, равной радиусу окружности, проведены две касательные, пересекающиеся в точке С. Найдите угол АСВ.

Пусть O — центр окружности, а R — её радиус.

Рассмотрим треугольник $AOB$. По условию задачи, хорда $AB$ равна радиусу окружности, то есть $AB = R$. Стороны $OA$ и $OB$ также являются радиусами, поэтому $OA = R$ и $OB = R$. Следовательно, треугольник $AOB$ является равносторонним, так как все его стороны равны: $OA = OB = AB = R$.

В равностороннем треугольнике все углы равны $60^\circ$. Таким образом, центральный угол $\angle AOB$, опирающийся на хорду $AB$, равен $60^\circ$.

По свойству касательной к окружности, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Так как $AC$ и $BC$ — касательные в точках $A$ и $B$ соответственно, то $OA \perp AC$ и $OB \perp BC$. Отсюда следует, что углы $\angle OAC$ и $\angle OBC$ являются прямыми: $\angle OAC = 90^\circ$ и $\angle OBC = 90^\circ$.

Рассмотрим четырехугольник $OACB$. Сумма внутренних углов любого выпуклого четырехугольника равна $360^\circ$. Для четырехугольника $OACB$ справедливо равенство:$\angle AOB + \angle OAC + \angle OBC + \angle ACB = 360^\circ$

Подставим известные значения углов в это уравнение:$60^\circ + 90^\circ + 90^\circ + \angle ACB = 360^\circ$

Упростим выражение:$240^\circ + \angle ACB = 360^\circ$

Отсюда находим искомый угол $\angle ACB$:$\angle ACB = 360^\circ - 240^\circ = 120^\circ$

Ответ: $120^\circ$.