Номер 343, страница 103 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Окружность. Касательная к окружности. 43. Вписанная и описанная окружности треугольника. Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры - номер 343, страница 103.

343 Докажите, что если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу, то прямая является касательной к окружности.

Дано:

• Окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$.
• Прямая $a$.
• Расстояние от точки $O$ до прямой $a$, обозначим его $d$, равно радиусу $R$, то есть $d = R$.

Доказать:

• Прямая $a$ является касательной к окружности.

Доказательство:

По определению, расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Проведем из центра окружности $O$ перпендикуляр к прямой $a$. Пусть $H$ — основание этого перпендикуляра. Тогда точка $H$ лежит на прямой $a$ ($H \in a$), и отрезок $OH$ перпендикулярен прямой $a$ ($OH \perp a$). Длина этого отрезка $OH$ и есть расстояние от центра до прямой, то есть $OH = d$.

По условию задачи, это расстояние равно радиусу окружности: $OH = R$.

Поскольку расстояние от центра окружности $O$ до точки $H$ равно радиусу $R$, точка $H$ лежит на окружности (согласно определению окружности как геометрического места точек, равноудаленных от центра).

Теперь докажем, что эта общая точка $H$ является единственной. Возьмем на прямой $a$ любую другую точку $M$, отличную от $H$ ($M \in a, M \neq H$). Рассмотрим треугольник $\triangle OHM$.

Так как $OH \perp a$, то угол $\angle OHM$ является прямым, а значит, $\triangle OHM$ — прямоугольный. В этом треугольнике $OH$ и $HM$ являются катетами, а отрезок $OM$ — гипотенузой.

В прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда длиннее любого из катетов. Следовательно, $OM > OH$.

Подставляя известное значение $OH = R$, получаем $OM > R$.

Это означает, что расстояние от центра окружности до любой точки $M$ на прямой $a$, не совпадающей с $H$, больше радиуса. Следовательно, все точки прямой $a$, кроме точки $H$, лежат вне окружности.

Таким образом, прямая $a$ и окружность имеют ровно одну общую точку — точку $H$. По определению, прямая, имеющая с окружностью одну общую точку, называется касательной. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.