Страница 103 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

336 Докажите, что хорда, не проходящая через центр окружности, меньше диаметра.

Рассмотрим окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Пусть $AB$ — хорда этой окружности, которая по условию не проходит через центр $O$. Диаметр окружности $D$ равен двум радиусам: $D = 2R$.

Соединим концы хорды, точки $A$ и $B$, с центром окружности $O$. В результате мы получим треугольник $OAB$. Так как хорда $AB$ не проходит через центр $O$, точки $A$, $O$ и $B$ не лежат на одной прямой, и треугольник $OAB$ является невырожденным.

Стороны этого треугольника — это отрезки $OA$, $OB$ и $AB$. Отрезки $OA$ и $OB$ являются радиусами окружности, поэтому их длины равны $R$: $OA = R$ и $OB = R$.

Воспользуемся неравенством треугольника, которое гласит, что любая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон. Применим это свойство к стороне $AB$ треугольника $OAB$: $AB < OA + OB$

Теперь подставим в это неравенство известные нам длины сторон $OA$ и $OB$: $AB < R + R$

Упростив правую часть, получаем: $AB < 2R$

Поскольку диаметр окружности $D$ равен $2R$, мы можем записать окончательное неравенство: $AB < D$

Таким образом, мы доказали, что длина хорды $AB$, не проходящей через центр окружности, строго меньше длины диаметра.

Ответ: Что и требовалось доказать.

337 Докажите, что если две хорды АВ и АС окружности равны, то ни одна из них не является диаметром этой окружности.

337

Доказательство проведем методом от противного.

Предположим, что одна из равных хорд, например хорда AB, является диаметром. Диаметр — это хорда, проходящая через центр окружности, и это самая длинная хорда в окружности.

По условию задачи, хорда AC равна хорде AB ($AB = AC$). Так как AB, по нашему предположению, является самой длинной хордой (диаметром), то и равная ей хорда AC также должна быть самой длинной. Следовательно, AC также является диаметром.

Таким образом, мы получили, что AB и AC — это два диаметра окружности. Оба диаметра должны проходить через центр окружности, назовем его O. Кроме того, по условию они имеют общую точку A.

Это означает, что точки A, O, B лежат на одной прямой (поскольку AB — диаметр), и точки A, O, C также лежат на одной прямой (поскольку AC — диаметр). Так как обе эти прямые проходят через две общие точки A и O, они должны совпадать.

Следовательно, все три точки A, B и C лежат на одной и той же прямой. Но по условию все эти точки также лежат на окружности. Прямая может пересекать окружность не более чем в двух точках. Чтобы три точки A, B и C одновременно лежали и на прямой, и на окружности, необходимо, чтобы как минимум две из этих точек совпадали.

Так как A является общей точкой хорд, а B и C — их другими концами, то для выполнения этого условия точки B и C должны совпадать ($B = C$). Но если точки B и C совпадают, то хорды AB и AC являются одной и той же хордой. Это противоречит условию задачи, в котором говорится о «двух хордах» AB и AC, что подразумевает, что они различны.

Полученное противоречие доказывает, что наше первоначальное предположение было неверным. Значит, хорда AB не может быть диаметром. Поскольку хорды AB и AC равны, то же самое рассуждение справедливо и для хорды AC, следовательно, она также не является диаметром.

Ответ: Что и требовалось доказать.

338 Докажите, что если точка С — внутренняя точка относительно окружности, не лежащая на её диаметре АВ, то угол АСВ тупой.

Доказательство:

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$. $AB$ — диаметр этой окружности, а значит $OA = OB = R$. Точка $C$ является внутренней точкой окружности и не лежит на диаметре $AB$.

Согласно определению внутренней точки окружности, расстояние от центра до этой точки меньше радиуса, то есть $OC < R$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ACB$. Соединим точку $C$ с центром окружности $O$ отрезком $OC$. Этот отрезок делит треугольник $\triangle ACB$ на два треугольника: $\triangle AOC$ и $\triangle BOC$.

Рассмотрим треугольник $\triangle AOC$. В нем две стороны равны $OA = R$ и $OC < R$. В любом треугольнике против большей стороны лежит больший угол. Следовательно, угол $\angle OCA$, лежащий против стороны $OA$, больше угла $\angle OAC$, лежащего против стороны $OC$: $\angle OCA > \angle OAC$. (Угол $\angle OAC$ совпадает с углом $\angle CAB$).

Аналогично рассмотрим треугольник $\triangle BOC$. В нем стороны $OB = R$ и $OC < R$. Следовательно, угол $\angle OCB$, лежащий против стороны $OB$, больше угла $\angle OBC$, лежащего против стороны $OC$: $\angle OCB > \angle OBC$. (Угол $\angle OBC$ совпадает с углом $\angle CBA$).

Сложим полученные неравенства почленно: $\angle OCA + \angle OCB > \angle OAC + \angle OBC$

Сумма углов $\angle OCA$ и $\angle OCB$ образует угол $\angle ACB$. Таким образом, мы получаем неравенство для углов треугольника $\triangle ACB$: $\angle ACB > \angle CAB + \angle CBA$

Известно, что сумма внутренних углов любого треугольника равна $180^\circ$. Для треугольника $\triangle ACB$ справедливо равенство: $\angle ACB + \angle CAB + \angle CBA = 180^\circ$

Из этого равенства выразим сумму углов $\angle CAB + \angle CBA$: $\angle CAB + \angle CBA = 180^\circ - \angle ACB$

Подставим это выражение в неравенство, полученное ранее: $\angle ACB > 180^\circ - \angle ACB$

Прибавим к обеим частям неравенства величину угла $\angle ACB$: $\angle ACB + \angle ACB > 180^\circ$ $2 \cdot \angle ACB > 180^\circ$

Разделив обе части на 2, получим окончательный результат: $\angle ACB > 90^\circ$

Угол, градусная мера которого больше $90^\circ$, является тупым. Следовательно, угол $\angle ACB$ — тупой, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

339 Докажите, что если АВ — диаметр окружности и С — внешняя точка относительно этой окружности, не лежащая на прямой АВ, то угол АСВ острый.

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и диаметром $AB$. Точка $C$ является внешней по отношению к этой окружности и не лежит на прямой $AB$. Требуется доказать, что угол $ACB$ — острый, то есть $\angle ACB < 90^\circ$.

Рассмотрим два возможных случая расположения прямой $BC$ относительно окружности.

1. Прямая BC пересекает окружность в двух точках.

Пусть прямая $BC$ пересекает окружность не только в точке $B$, но и в другой точке $D$. Поскольку точка $C$ — внешняя, а точка $B$ лежит на окружности, точка $D$ будет лежать на отрезке $BC$. Соединим точки $A$ и $D$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ADB$. Угол $\angle ADB$ является вписанным в окружность и опирается на диаметр $AB$. По свойству вписанного угла, опирающегося на диаметр, его величина равна $90^\circ$. Итак, $\angle ADB = 90^\circ$.

Точки $C$, $D$ и $B$ лежат на одной прямой, следовательно, углы $\angle ADC$ и $\angle ADB$ являются смежными. Их сумма равна $180^\circ$:

$\angle ADC + \angle ADB = 180^\circ$

Отсюда находим угол $\angle ADC$:

$\angle ADC = 180^\circ - \angle ADB = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ADC$. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$:

$\angle CAD + \angle ACD + \angle ADC = 180^\circ$

Подставим известное значение $\angle ADC = 90^\circ$:

$\angle CAD + \angle ACD + 90^\circ = 180^\circ$

$\angle CAD + \angle ACD = 90^\circ$

Угол $\angle ACD$ — это и есть искомый угол $\angle ACB$. Так как точка $C$ по условию не лежит на прямой $AB$, треугольник $\triangle ABC$ невырожденный, а значит, и $\triangle ADC$ является невырожденным треугольником. Следовательно, угол $\angle CAD$ строго больше нуля: $\angle CAD > 0$.

Из равенства $\angle ACB + \angle CAD = 90^\circ$ получаем $\angle ACB = 90^\circ - \angle CAD$. Поскольку $\angle CAD > 0$, то $\angle ACB < 90^\circ$.

2. Прямая BC является касательной к окружности в точке B.

Если прямая $BC$ касается окружности в точке $B$, то по свойству касательной радиус $OB$, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной $BC$. Следовательно, $\angle OBC = 90^\circ$.

Поскольку центр окружности $O$ лежит на диаметре $AB$, угол $\angle ABC$ совпадает с углом $\angle OBC$, то есть $\angle ABC = 90^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Сумма его углов равна $180^\circ$:

$\angle ACB + \angle BAC + \angle ABC = 180^\circ$

Подставим значение $\angle ABC = 90^\circ$:

$\angle ACB + \angle BAC + 90^\circ = 180^\circ$

$\angle ACB + \angle BAC = 90^\circ$

Поскольку треугольник $\triangle ABC$ невырожденный, угол $\angle BAC$ строго больше нуля: $\angle BAC > 0$.

Из равенства следует, что $\angle ACB = 90^\circ - \angle BAC$, и так как $\angle BAC > 0$, то $\angle ACB < 90^\circ$.

Таким образом, в обоих возможных случаях мы доказали, что угол $ACB$ является острым. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано: если $AB$ — диаметр окружности и $C$ — внешняя точка относительно этой окружности, не лежащая на прямой $AB$, то угол $ACB$ острый.

340 Докажите, что середины параллельных хорд лежат на одном диаметре.

Доказательство:

Пусть дана окружность с центром в точке $O$. Рассмотрим некоторое множество параллельных между собой хорд этой окружности. Возьмем любую хорду $AB$ из этого множества. Пусть точка $M$ является ее серединой, то есть $AM = MB$.

По известному свойству окружности, радиус, проведенный в середину хорды, перпендикулярен этой хорде. В нашем случае это означает, что отрезок $OM$ перпендикулярен хорде $AB$. Математически это записывается как $OM \perp AB$.

Теперь выберем любую другую хорду $CD$ из того же множества параллельных хорд, так что $CD \parallel AB$. Пусть точка $N$ — середина хорды $CD$. Аналогично предыдущему пункту, отрезок $ON$ перпендикулярен хорде $CD$, то есть $ON \perp CD$.

Итак, мы имеем:

• $OM \perp AB$
• $ON \perp CD$
• $AB \parallel CD$

Из геометрии известно, что если две прямые параллельны, то любая прямая, перпендикулярная одной из них, будет перпендикулярна и другой. Рассмотрим прямую, на которой лежит отрезок $OM$. Эта прямая проходит через центр окружности $O$ и перпендикулярна хорде $AB$. Поскольку $AB \parallel CD$, эта же прямая будет перпендикулярна и хорде $CD$.

Прямая, проходящая через центр окружности и перпендикулярная хорде, проходит через ее середину. Таким образом, прямая, на которой лежит $OM$, должна проходить и через точку $N$ (середину хорды $CD$).

Это означает, что точки $O$, $M$ и $N$ лежат на одной прямой. Поскольку эта прямая проходит через центр окружности $O$, она является диаметром.

Так как мы выбирали хорды $AB$ и $CD$ произвольно из всего множества параллельных хорд, данный вывод справедлив для середин всех хорд этого множества. Все они будут лежать на одном и том же диаметре, который перпендикулярен данным хордам.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Середина любой хорды лежит на диаметре, который перпендикулярен этой хорде. Так как все рассматриваемые хорды параллельны, то диаметр, перпендикулярный одной из них, будет перпендикулярен и всем остальным. Следовательно, все их середины лежат на одном и том же диаметре.

341 Докажите, что равные хорды окружности равноудалены от её центра.

Пусть в окружности с центром в точке $O$ проведены две равные хорды $AB$ и $CD$, то есть $AB = CD$. Необходимо доказать, что эти хорды находятся на одинаковом расстоянии от центра окружности.

Расстоянием от точки до прямой является длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Проведем из центра $O$ перпендикуляры $OH$ и $OK$ к хордам $AB$ и $CD$ соответственно. Таким образом, по построению $OH \perp AB$ и $OK \perp CD$. Нам нужно доказать, что длины этих перпендикуляров равны, то есть $OH = OK$.

Соединим центр окружности $O$ с точками $A$ и $C$, получив отрезки $OA$ и $OC$. Эти отрезки являются радиусами окружности, поэтому $OA = OC$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle OHA$ и $\triangle OKC$. Они являются прямоугольными, так как $OH$ и $OK$ — перпендикуляры.

По свойству окружности, перпендикуляр, проведенный из центра к хорде, делит эту хорду пополам. Следовательно:
- Точка $H$ является серединой хорды $AB$, поэтому $AH = \frac{1}{2}AB$.
- Точка $K$ является серединой хорды $CD$, поэтому $CK = \frac{1}{2}CD$.

Так как по условию $AB = CD$, то и их половины равны: $AH = CK$.

Теперь сравним прямоугольные треугольники $\triangle OHA$ и $\triangle OKC$:
1. Гипотенуза $OA$ равна гипотенузе $OC$ (как радиусы одной окружности).
2. Катет $AH$ равен катету $CK$ (как половины равных хорд).

Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle OHA$ и $\triangle OKC$ равны по гипотенузе и катету. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон, а именно катетов $OH$ и $OK$:

$OH = OK$

Поскольку $OH$ и $OK$ представляют собой расстояния от центра окружности до хорд $AB$ и $CD$, мы доказали, что эти расстояния равны.

Ответ: Равные хорды окружности равноудалены от её центра, что и требовалось доказать.

342 Докажите, что если хорды окружности равноудалены от её центра, то они равны.

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Пусть $AB$ и $CD$ — две хорды этой окружности.

Расстояние от центра окружности до хорды определяется как длина перпендикуляра, опущенного из центра на эту хорду. Проведем перпендикуляры $OH$ к хорде $AB$ и $OK$ к хорде $CD$. Таким образом, $OH \perp AB$ и $OK \perp CD$.

По условию задачи хорды равноудалены от центра, что означает, что длины этих перпендикуляров равны: $OH = OK$. Требуется доказать, что хорды равны, то есть $AB = CD$.

Для доказательства рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle OHA$ и $\triangle OKC$. В этих треугольниках гипотенузы $OA$ и $OC$ равны, так как обе являются радиусами окружности ($OA = OC = R$). Катеты $OH$ и $OK$ также равны по условию задачи ($OH = OK$).

По признаку равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и катету), $\triangle OHA = \triangle OKC$.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон, а именно катетов $AH$ и $CK$: $AH = CK$.

Известно, что перпендикуляр, проведенный из центра окружности к хорде, делит эту хорду пополам. Следовательно, точка $H$ является серединой хорды $AB$, и $AB = 2 \cdot AH$. Аналогично, точка $K$ является серединой хорды $CD$, и $CD = 2 \cdot CK$.

Поскольку $AH = CK$, то и $2 \cdot AH = 2 \cdot CK$. Это означает, что $AB = CD$.

Таким образом, доказано, что если хорды окружности равноудалены от её центра, то они равны.

Ответ: Утверждение доказано.

343 Докажите, что если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу, то прямая является касательной к окружности.

Дано:

• Окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$.
• Прямая $a$.
• Расстояние от точки $O$ до прямой $a$, обозначим его $d$, равно радиусу $R$, то есть $d = R$.

Доказать:

• Прямая $a$ является касательной к окружности.

Доказательство:

По определению, расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Проведем из центра окружности $O$ перпендикуляр к прямой $a$. Пусть $H$ — основание этого перпендикуляра. Тогда точка $H$ лежит на прямой $a$ ($H \in a$), и отрезок $OH$ перпендикулярен прямой $a$ ($OH \perp a$). Длина этого отрезка $OH$ и есть расстояние от центра до прямой, то есть $OH = d$.

По условию задачи, это расстояние равно радиусу окружности: $OH = R$.

Поскольку расстояние от центра окружности $O$ до точки $H$ равно радиусу $R$, точка $H$ лежит на окружности (согласно определению окружности как геометрического места точек, равноудаленных от центра).

Теперь докажем, что эта общая точка $H$ является единственной. Возьмем на прямой $a$ любую другую точку $M$, отличную от $H$ ($M \in a, M \neq H$). Рассмотрим треугольник $\triangle OHM$.

Так как $OH \perp a$, то угол $\angle OHM$ является прямым, а значит, $\triangle OHM$ — прямоугольный. В этом треугольнике $OH$ и $HM$ являются катетами, а отрезок $OM$ — гипотенузой.

В прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда длиннее любого из катетов. Следовательно, $OM > OH$.

Подставляя известное значение $OH = R$, получаем $OM > R$.

Это означает, что расстояние от центра окружности до любой точки $M$ на прямой $a$, не совпадающей с $H$, больше радиуса. Следовательно, все точки прямой $a$, кроме точки $H$, лежат вне окружности.

Таким образом, прямая $a$ и окружность имеют ровно одну общую точку — точку $H$. По определению, прямая, имеющая с окружностью одну общую точку, называется касательной. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

344 Прямая a касается окружности с центром О. Найдите расстояние от точки О до прямой а, если диаметр окружности равен 14 см.

По определению, расстояние от точки до прямой равно длине перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую.

Согласно свойству касательной к окружности, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен самой касательной.

Это означает, что радиус данной окружности, проведенный из центра O в точку касания с прямой a, является перпендикуляром к этой прямой. Следовательно, длина радиуса равна искомому расстоянию от точки O до прямой a.

Радиус окружности r равен половине ее диаметра d. По условию, диаметр равен 14 см.

Найдем радиус: $r = d / 2 = 14 / 2 = 7$ см.

Таким образом, расстояние от центра окружности O до прямой a равно 7 см.

Ответ: 7 см.

345 Докажите, что касательные, проведённые через концы диаметра окружности, параллельны.

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и диаметром $AB$. Проведем через точки $A$ и $B$ касательные к окружности, назовем их $a$ и $b$ соответственно.

Согласно свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.

Для точки $A$ радиус $OA$ перпендикулярен касательной $a$. Это значит, что угол между прямой $a$ и прямой $AB$ равен $90^\circ$, то есть $a \perp AB$.

Аналогично, для точки $B$ радиус $OB$ перпендикулярен касательной $b$. Это значит, что угол между прямой $b$ и прямой $AB$ равен $90^\circ$, то есть $b \perp AB$.

Мы получили, что две прямые ($a$ и $b$) перпендикулярны одной и той же третьей прямой ($AB$).

По теореме о признаке параллельности двух прямых: если две прямые на плоскости перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны.

Следовательно, $a \parallel b$. Утверждение доказано.

Ответ: Касательные, проведенные через концы диаметра окружности, параллельны, так как они обе перпендикулярны этому диаметру.

346 Найдите длину отрезка АВ, касательного к окружности с центром О, где В — точка касания, если угол АОВ равен 45°, а радиус окружности — 12 см.

Рассмотрим треугольник $AOB$. По условию задачи, $AB$ является касательной к окружности с центром в точке $O$, а $B$ — точка касания. Согласно свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен самой касательной. Следовательно, радиус $OB$ перпендикулярен отрезку $AB$.

Это означает, что угол $\angle OBA = 90°$, и треугольник $\triangle AOB$ является прямоугольным.

Сумма углов в любом треугольнике составляет $180°$. Мы знаем два угла в треугольнике $\triangle AOB$: $\angle OBA = 90°$ и, по условию, $\angle AOB = 45°$. Найдем третий угол $\angle OAB$:
$\angle OAB = 180° - \angle OBA - \angle AOB$
$\angle OAB = 180° - 90° - 45° = 45°$

Таким образом, в треугольнике $\triangle AOB$ два угла равны: $\angle OAB = \angle AOB = 45°$. Треугольник, у которого два угла равны, является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике стороны, лежащие напротив равных углов, также равны.

Сторона $AB$ лежит напротив угла $\angle AOB$.
Сторона $OB$ лежит напротив угла $\angle OAB$.

Следовательно, $AB = OB$.

По условию задачи, радиус окружности равен 12 см, то есть $OB = 12$ см.Отсюда следует, что длина отрезка $AB$ также равна 12 см.

Ответ: 12 см.

347 Прямая p является касательной к окружности с центром О, А — точка касания. На этой прямой отмечены точки В, С и D так, что точка А лежит между точками В и С, а точка С — между точками А и D. Укажите: а) какие из следующих отрезков являются касательными: АС, ВС, CD; б) какие из следующих лучей являются касательными: АС, СА, CD, DB?

По условию задачи, прямая $p$ является касательной к окружности в точке $A$. Это означает, что прямая $p$ имеет с окружностью только одну общую точку — точку $A$. Любой отрезок или луч, который является частью прямой $p$, будет касательным к окружности тогда и только тогда, когда он содержит точку касания $A$.

Из условия известно, что точка $A$ лежит между точками $B$ и $C$, а точка $C$ лежит между точками $A$ и $D$. Следовательно, точки на прямой $p$ располагаются в следующем порядке: $B - A - C - D$.

а) Рассмотрим предложенные отрезки: $AC, BC, CD$.

• Отрезок $AC$ соединяет точки $A$ и $C$. Он содержит точку касания $A$, следовательно, он является касательным к окружности.

• Отрезок $BC$ соединяет точки $B$ и $C$. Поскольку точка $A$ лежит между $B$ и $C$, она принадлежит отрезку $BC$. Следовательно, отрезок $BC$ является касательным к окружности.

• Отрезок $CD$ соединяет точки $C$ и $D$. Поскольку точки на прямой расположены в порядке $B - A - C - D$, точка $A$ не принадлежит отрезку $CD$. Следовательно, отрезок $CD$ не является касательным к окружности.

Ответ: $AC, BC$.

б) Рассмотрим предложенные лучи: $AC, CA, CD, DB$.

• Луч $AC$ начинается в точке $A$ и проходит через точку $C$. Так как он содержит точку касания $A$ (в качестве своего начала), он является касательным к окружности.

• Луч $CA$ начинается в точке $C$ и проходит через точку $A$. Так как он содержит точку касания $A$, он является касательным к окружности.

• Луч $CD$ начинается в точке $C$ и проходит через точку $D$. Он не содержит точку $A$, так как точка $A$ находится по другую сторону от $C$. Следовательно, луч $CD$ не является касательным к окружности.

• Луч $DB$ начинается в точке $D$ и проходит через точку $B$. Поскольку точки расположены в порядке $B - A - C - D$, этот луч проходит через точки $C$ и $A$. Так как он содержит точку касания $A$, он является касательным к окружности.

Ответ: $AC, CA, DB$.