Страница 106 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

369 Докажите, что центром окружности, описанной около прямоугольного треугольника, является середина гипотенузы.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$ ($\angle C = 90^\circ$). $AB$ – это гипотенуза, а $AC$ и $BC$ – катеты. Требуется доказать, что центр окружности, описанной около треугольника $ABC$, совпадает с серединой гипотенузы $AB$.

Центр описанной окружности – это точка, равноудаленная от всех вершин треугольника. Обозначим середину гипотенузы $AB$ как точку $O$. По определению точки $O$ как середины отрезка $AB$, мы уже имеем равенство $OA = OB$. Таким образом, для доказательства нам необходимо показать, что и третья вершина $C$ находится на таком же расстоянии от точки $O$, то есть что $OC = OA = OB$.

Доказательство:

1. Достроим наш прямоугольный треугольник $ABC$ до прямоугольника. Для этого проведем через вершину $A$ прямую, параллельную катету $BC$, и через вершину $B$ – прямую, параллельную катету $AC$. Точку пересечения этих прямых обозначим $D$.

2. Полученная фигура $ACBD$ является прямоугольником. Это следует из того, что ее противоположные стороны попарно параллельны по построению ($AC \parallel BD$ и $BC \parallel AD$), значит, $ACBD$ – параллелограмм. А так как у этого параллелограмма есть прямой угол ($\angle C = 90^\circ$), то он является прямоугольником.

3. Отрезки $AB$ и $CD$ являются диагоналями этого прямоугольника. Воспользуемся известным свойством прямоугольника: его диагонали равны и в точке пересечения делятся пополам.

4. Точка $O$ является серединой гипотенузы $AB$, которая, в свою очередь, является диагональю прямоугольника $ACBD$. Следовательно, точка $O$ и есть точка пересечения диагоналей.

5. Согласно свойству диагоналей прямоугольника, точка их пересечения делит их на равные отрезки. Значит, $OA = OB = OC = OD$.

6. Из равенства $OA = OB = OC$ следует, что точка $O$ равноудалена от всех трех вершин треугольника $ABC$.

7. По определению, точка, равноудаленная от всех вершин треугольника, является центром его описанной окружности. Следовательно, точка $O$, которая является серединой гипотенузы, и есть искомый центр.

Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, является серединой его гипотенузы. Это следует из того, что если достроить прямоугольный треугольник до прямоугольника, его гипотенуза станет диагональю этого прямоугольника. Центр описанной окружности совпадет с точкой пересечения диагоналей, которая, по свойству прямоугольника, является серединой каждой из них, в том числе и гипотенузы. Следовательно, середина гипотенузы равноудалена от всех трех вершин треугольника.

370 Стороны угла ВАС, равного 60°, касаются окружности с центром О. Найдите длину отрезка ОА, если радиус окружности равен 5 см.

Пусть дан угол $BAC$, равный $60^\circ$. Окружность с центром в точке $O$ и радиусом $r = 5$ см касается сторон угла $AB$ и $AC$. Обозначим точку касания на стороне $AC$ как $N$. Нам необходимо найти длину отрезка $OA$.

По свойству окружности, вписанной в угол, ее центр $O$ лежит на биссектрисе этого угла. Следовательно, луч $AO$ является биссектрисой угла $BAC$. Это означает, что угол $OAN$ (он же $OAC$) равен половине угла $BAC$:
$\angle OAN = \frac{\angle BAC}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$.

Проведем радиус $ON$ в точку касания $N$. По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Таким образом, $ON \perp AC$, и треугольник $OAN$ является прямоугольным с прямым углом $\angle ONA = 90^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $OAN$ нам известны:
1. Катет $ON$, который является радиусом окружности: $ON = r = 5$ см.
2. Угол $\angle OAN = 30^\circ$, противолежащий катету $ON$.

Для нахождения гипотенузы $OA$ можно использовать свойство прямоугольного треугольника с углом $30^\circ$. Катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы.
Следовательно, $ON = \frac{1}{2} OA$.

Выразим из этой формулы длину $OA$:
$OA = 2 \cdot ON = 2 \cdot 5 = 10$ см.

Также можно использовать определение синуса угла в прямоугольном треугольнике $OAN$:
$\sin(\angle OAN) = \frac{ON}{OA}$

Подставим известные значения:
$\sin(30^\circ) = \frac{5}{OA}$

Так как значение $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем уравнение:
$\frac{1}{2} = \frac{5}{OA}$

Решая уравнение, находим $OA$:
$OA = 5 \cdot 2 = 10$ см.

Ответ: 10 см.

371 Найдите периметр прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 26 см, а радиус вписанной окружности — 4 см.

Обозначим катеты прямоугольного треугольника как $a$ и $b$, а гипотенузу — как $c$. Периметр $P$ треугольника равен сумме длин всех его сторон: $P = a + b + c$.

Согласно условию задачи, гипотенуза $c = 26$ см, а радиус вписанной окружности $r = 4$ см.

Для нахождения периметра воспользуемся свойством радиуса вписанной в прямоугольный треугольник окружности. Его можно вычислить по формуле:$r = \frac{a + b - c}{2}$

Подставим в эту формулу известные значения $r$ и $c$, чтобы найти сумму катетов $(a + b)$:$4 = \frac{a + b - 26}{2}$

Решим полученное уравнение. Сначала умножим обе части на 2:$2 \cdot 4 = a + b - 26$$8 = a + b - 26$

Теперь выразим сумму катетов $a + b$:$a + b = 8 + 26$$a + b = 34$ см.

Мы нашли сумму длин катетов. Теперь можем вычислить периметр треугольника, подставив найденное значение суммы $(a+b)$ и известное значение гипотенузы $c$ в формулу периметра:$P = (a + b) + c = 34 + 26 = 60$ см.

Ответ: 60 см.

372 Найдите диаметр окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, если гипотенуза треугольника равна с, а сумма катетов m.

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$, а гипотенуза равна $c$. Согласно условию задачи, у нас есть два соотношения:

1. Гипотенуза равна $c$.

2. Сумма катетов равна $m$, то есть $a + b = m$.

Для нахождения диаметра вписанной окружности сначала найдем ее радиус $r$. Существует известная формула для радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник:

$r = \frac{a + b - c}{2}$

Эта формула получается из свойства касательных к окружности, проведенных из одной точки. Если из вершин треугольника провести отрезки к точкам касания вписанной окружности, то мы получим три пары равных отрезков. У вершины прямого угла эти отрезки равны радиусу $r$. У двух других вершин отрезки равны $a - r$ и $b - r$. Сумма этих двух отрезков составляет гипотенузу $c$:

$(a - r) + (b - r) = c$

$a + b - 2r = c$

$2r = a + b - c$

$r = \frac{a + b - c}{2}$

Теперь мы можем использовать данные из условия задачи. Подставим значение суммы катетов $a + b = m$ в эту формулу:

$r = \frac{m - c}{2}$

Задача требует найти диаметр $d$ вписанной окружности. Диаметр связан с радиусом соотношением $d = 2r$.

Подставим найденное выражение для радиуса $r$:

$d = 2 \cdot \left(\frac{m - c}{2}\right)$

Сокращая на 2, получаем окончательное выражение для диаметра:

$d = m - c$

Ответ: $m - c$

373 В равнобедренный треугольник вписана окружность с центром О, и около него описана окружность с центром Е. Докажите, что точки О и Е лежат на серединном перпендикуляре к основанию треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и равными сторонами $AB=BC$. Проведем из вершины $B$ высоту $BH$ к основанию $AC$.

По свойству равнобедренного треугольника, высота, проведенная к основанию, является одновременно и медианой, и биссектрисой. Это означает, что:

• $BH$ перпендикулярна $AC$ ($BH \perp AC$).
• $H$ — середина основания $AC$ ($AH = HC$).
• $BH$ — биссектриса угла $\angle ABC$.

Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, проходящая через середину этого отрезка и перпендикулярная ему. Поскольку $BH \perp AC$ и $H$ — середина $AC$, прямая, содержащая высоту $BH$, является серединным перпендикуляром к основанию $AC$.

Теперь докажем, что точки $O$ и $E$ лежат на этой прямой.

1. Положение центра вписанной окружности (точки $O$).
Центр вписанной в треугольник окружности (инцентр) является точкой пересечения его биссектрис. Так как $BH$ — это биссектриса угла $\angle ABC$, то точка пересечения всех биссектрис, точка $O$, должна лежать на прямой, содержащей $BH$. Следовательно, точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к основанию $AC$.

2. Положение центра описанной окружности (точки $E$).
Центр описанной около треугольника окружности (циркумцентр) является точкой пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Прямая, содержащая $BH$, как мы установили, является серединным перпендикуляром к стороне $AC$. Следовательно, точка $E$, как точка пересечения всех серединных перпендикуляров, должна лежать на этой прямой. Таким образом, точка $E$ также лежит на серединном перпендикуляре к основанию $AC$.

Итак, мы доказали, что обе точки, $O$ и $E$, лежат на одной и той же прямой — серединном перпендикуляре к основанию равнобедренного треугольника.

Ответ: Доказано, что точки $O$ (центр вписанной окружности) и $E$ (центр описанной окружности) лежат на серединном перпендикуляре к основанию равнобедренного треугольника, так как обе они лежат на оси симметрии треугольника, которая совпадает с этим перпендикуляром.