Страница 111 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

383 Какие из следующих букв имеют ось симметрии: А, Б, Г, Е, О, F?

Осью симметрии фигуры называется такая прямая, при отражении относительно которой фигура переходит сама в себя. Проанализируем каждую из данных букв на наличие у них осей симметрии.

А: Буква "А" имеет одну вертикальную ось симметрии, которая проходит через её вершину и середину нижнего отрезка. Левая и правая части буквы являются зеркальным отражением друг друга относительно этой оси.

Б: Буква "Б" не имеет ни вертикальной, ни горизонтальной оси симметрии.

Г: Буква "Г" не имеет оси симметрии.

Е: Буква "Е" имеет одну горизонтальную ось симметрии, которая проходит через её середину. Верхняя и нижняя части буквы являются зеркальным отражением друг друга.

О: Буква "О" имеет две оси симметрии: одну вертикальную и одну горизонтальную, которые проходят через её центр. Если рассматривать букву "О" как идеальную окружность, то она имеет бесконечное множество осей симметрии.

Ґ: Буква "Ґ" не имеет оси симметрии.

Следовательно, из предложенного списка буквы А, Е и О имеют ось (или оси) симметрии.

Ответ: А, Е, О.

384 Какие из точек M, N, C, Q, S, изображённых на рисунке 179, симметричны относительно прямой p:

а) точке А;

б) точке В?

а) Две точки называются симметричными относительно некоторой прямой, если эта прямая перпендикулярна отрезку, соединяющему эти точки, и проходит через его середину. На рисунке прямая $p$ является вертикальной. Следовательно, точка, симметричная точке $A$, должна лежать на той же горизонтальной линии, что и точка $A$, и на таком же расстоянии от прямой $p$. Расстояние от точки $A$ до прямой $p$ составляет 2 клетки влево. Значит, симметричная ей точка должна находиться на расстоянии 2 клеток вправо от прямой $p$ на той же горизонтальной линии. Из предложенных точек ($M, N, C, Q, S$) этому условию удовлетворяет точка $S$.

Ответ: S.

б) Аналогичным образом находим точку, симметричную точке $B$. Расстояние от точки $B$ до прямой $p$ составляет 1 клетку влево. Значит, симметричная ей точка должна находиться на расстоянии 1 клетки вправо от прямой $p$ на той же горизонтальной линии. Из предложенных точек ($M, N, C, Q, S$) этому условию удовлетворяет точка $C$.

Ответ: C.

385 Могут ли точки А и А₁ быть симметричны относительно прямой p, если расстояния от этих точек до прямой p равны: а) 4 см и 6 см; б) 7 см и 7 см; в) 11,3 см и 11,4 см? Ответ обоснуйте.

По определению, две точки $A$ и $A_1$ являются симметричными относительно прямой $p$, если эта прямая является перпендикулярным биссектором отрезка $AA_1$. Это означает, что, во-первых, отрезок $AA_1$ должен быть перпендикулярен прямой $p$, и, во-вторых, точка пересечения прямой $p$ с отрезком $AA_1$ должна быть его серединой.

Из этого следует ключевое условие: расстояние от точки $A$ до прямой $p$ должно быть равно расстоянию от точки $A_1$ до прямой $p$. Если это условие не выполняется, точки не могут быть симметричными. Проверим каждый случай.

а) Расстояния от точек до прямой $p$ равны 4 см и 6 см.

Так как $4 \text{ см} \neq 6 \text{ см}$, расстояния от точек до прямой не равны. Следовательно, необходимое условие симметрии не выполняется, и точки $A$ и $A_1$ не могут быть симметричны относительно прямой $p$.

Ответ: нет.

б) Расстояния от точек до прямой $p$ равны 7 см и 7 см.

Так как $7 \text{ см} = 7 \text{ см}$, расстояния от точек до прямой равны. Это является необходимым условием для симметрии. Если точки $A$ и $A_1$ будут расположены на прямой, перпендикулярной $p$, по разные стороны от нее и на одинаковом расстоянии, то они будут симметричны. Так как такое расположение возможно, то ответ — да.

Ответ: да.

в) Расстояния от точек до прямой $p$ равны 11,3 см и 11,4 см.

Так как $11,3 \text{ см} \neq 11,4 \text{ см}$, расстояния от точек до прямой не равны. Следовательно, необходимое условие симметрии не выполняется, и точки $A$ и $A_1$ не могут быть симметричны относительно прямой $p$.

Ответ: нет.

386 Точки А₁, В₁, С₁ симметричны точкам А, В, С относительно прямой p. Найдите А₁В₁, если известно, что точка В лежит между точками А и С, АС = 5 см, ВС = 3 см.

По условию задачи, точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ симметричны точкам $A$, $B$, $C$ относительно прямой $p$. Осевая симметрия является движением, то есть преобразованием, сохраняющим расстояния между точками. Следовательно, расстояние между любыми двумя точками равно расстоянию между их симметричными образами.

Это означает, что длина отрезка $A_1B_1$ равна длине отрезка $AB$.

$A_1B_1 = AB$

Чтобы найти $A_1B_1$, нам нужно сначала найти длину отрезка $AB$.

В условии сказано, что точка $B$ лежит между точками $A$ и $C$. Это означает, что все три точки лежат на одной прямой, и длина отрезка $AC$ равна сумме длин отрезков $AB$ и $BC$.

$AC = AB + BC$

Нам даны длины отрезков $AC = 5$ см и $BC = 3$ см. Подставим эти значения в равенство:

$5 \text{ см} = AB + 3 \text{ см}$

Выразим из этого уравнения длину $AB$:

$AB = 5 \text{ см} - 3 \text{ см} = 2 \text{ см}$

Поскольку $A_1B_1 = AB$, то

$A_1B_1 = 2 \text{ см}$

Ответ: 2 см.

387 На рисунке 180, а точки А и А₁, В и В₁ симметричны относительно прямой p. Найдите длины отрезков АВ и А₁В₁, если АН=27,3см, В₁Н=7,8см.

а)

По определению осевой симметрии, если две точки симметричны относительно некоторой прямой (оси симметрии), то эта прямая является серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему эти точки. Это означает, что расстояние от любой из этих точек до оси симметрии равно расстоянию от другой точки до той же оси.

В условии задачи сказано, что точки $B$ и $B_1$ симметричны относительно прямой $p$. Прямая, на которой лежат точки $A, B, H, B_1, A_1$, перпендикулярна прямой $p$ и пересекает ее в точке $H$. Следовательно, расстояния от точек $B$ и $B_1$ до прямой $p$ равны. Расстояние от точки $B$ до прямой $p$ - это длина отрезка $BH$, а расстояние от точки $B_1$ до прямой $p$ - это длина отрезка $B_1H$.

Таким образом, мы можем записать равенство: $BH = B_1H$.

По условию нам дано, что $B_1H = 7,8$ см. Следовательно, $BH = 7,8$ см.

Из рисунка видно, что точка $B$ лежит на отрезке $AH$. Чтобы найти длину отрезка $AB$, нужно из длины большего отрезка $AH$ вычесть длину его части $BH$.

Выполним вычисление:

$AB = AH - BH = 27,3 \text{ см} - 7,8 \text{ см} = 19,5 \text{ см}$.

Далее, нам нужно найти длину отрезка $A_1B_1$. Осевая симметрия является движением, то есть преобразованием, которое сохраняет расстояния между точками. Поскольку точка $A$ при симметрии относительно прямой $p$ переходит в точку $A_1$, а точка $B$ — в точку $B_1$, то расстояние между исходными точками $A$ и $B$ будет равно расстоянию между их образами $A_1$ и $B_1$.

Следовательно, $A_1B_1 = AB$.

Так как мы уже нашли, что $AB = 19,5$ см, то и $A_1B_1 = 19,5$ см.

Ответ: $AB = 19,5$ см, $A_1B_1 = 19,5$ см.

388 На рисунке 180, б точки А и А₁, В и В₁ симметричны относительно прямой p. Найдите длины отрезков АВ и А₁В₁, если АА₁=5см, ВВ₁=15см.

По определению осевой симметрии, если точки симметричны относительно некоторой прямой, то эта прямая является серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему эти точки. Из условия задачи известно, что точки $A$ и $A_1$ симметричны относительно прямой $p$, а также точки $B$ и $B_1$ симметричны относительно прямой $p$.

Это означает, что прямая $p$ перпендикулярна отрезкам $AA_1$ и $BB_1$ и делит их пополам. Из рисунка видно, что все четыре точки лежат на одной прямой, перпендикулярной прямой $p$.

Найдем расстояние от каждой из точек до прямой симметрии $p$.
Расстояние от точки $A$ до прямой $p$ равно половине длины отрезка $AA_1$: $d(A, p) = \frac{AA_1}{2} = \frac{5}{2} = 2,5$ см.
Аналогично, расстояние от точки $B$ до прямой $p$ равно половине длины отрезка $BB_1$: $d(B, p) = \frac{BB_1}{2} = \frac{15}{2} = 7,5$ см.

На рисунке показано, что точки $A$ и $B$ находятся по разные стороны от прямой $p$. Следовательно, чтобы найти длину отрезка $AB$, нужно сложить расстояния от точек $A$ и $B$ до прямой $p$: $AB = d(A, p) + d(B, p) = 2,5 \text{ см} + 7,5 \text{ см} = 10$ см.

Осевая симметрия является движением, то есть преобразованием, сохраняющим расстояния. Так как точка $A_1$ является образом точки $A$, а точка $B_1$ — образом точки $B$ при симметрии относительно прямой $p$, то расстояние между образами $A_1B_1$ будет равно расстоянию между прообразами $AB$. $A_1B_1 = AB = 10$ см.

Ответ: $AB = 10$ см, $A_1B_1 = 10$ см.

389 Лежат ли точки А₁, В₁, С₁ на одной прямой, если они симметричны точкам А, В, С относительно некоторой прямой и известно, что: а) АВ = 2 дм, АС = 10 дм, ВС = 80 см; б) АВ = 1,1 см, В₁С₁ = 5 см, СА = 6 см?

Осевая симметрия является движением (изометрией), а значит, она сохраняет расстояния между точками. Если точки $A_1, B_1, C_1$ симметричны точкам $A, B, C$ относительно некоторой прямой, то расстояния между соответствующими точками равны: $A_1B_1 = AB$, $B_1C_1 = BC$, $A_1C_1 = AC$.

Три точки лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда длина наибольшего из отрезков, соединяющих эти точки, равна сумме длин двух других отрезков. Это частный случай неравенства треугольника, когда оно обращается в равенство.

а)

По условию даны длины отрезков: $AB = 2$ дм, $AC = 10$ дм, $BC = 80$ см.Для начала приведем все величины к единой единице измерения, например, к сантиметрам (см). Зная, что $1$ дм $= 10$ см, получаем:$AB = 2 \text{ дм} = 2 \times 10 \text{ см} = 20 \text{ см}$$AC = 10 \text{ дм} = 10 \times 10 \text{ см} = 100 \text{ см}$$BC = 80 \text{ см}$

Так как осевая симметрия сохраняет расстояния, то длины отрезков, соединяющих точки $A_1, B_1, C_1$, будут следующими:$A_1B_1 = AB = 20 \text{ см}$$B_1C_1 = BC = 80 \text{ см}$$A_1C_1 = AC = 100 \text{ см}$

Теперь проверим, лежат ли точки $A_1, B_1, C_1$ на одной прямой. Для этого нужно проверить, выполняется ли равенство $A_1B_1 + B_1C_1 = A_1C_1$ (или другие комбинации, соответствующие расположению точек). Сравним сумму длин двух меньших отрезков с длиной большего:$A_1B_1 + B_1C_1 = 20 \text{ см} + 80 \text{ см} = 100 \text{ см}$.Длина третьего, наибольшего, отрезка $A_1C_1$ также равна $100$ см.

Поскольку $A_1B_1 + B_1C_1 = A_1C_1$, точки $A_1, B_1, C_1$ лежат на одной прямой, причем точка $B_1$ находится между точками $A_1$ и $C_1$.

Ответ: да, лежат.

б)

По условию даны длины: $AB = 1,1$ см, $B_1C_1 = 5$ см, $CA = 6$ см.

Используя свойство сохранения расстояний при осевой симметрии, находим длины отрезков для точек $A_1, B_1, C_1$:$A_1B_1 = AB = 1,1 \text{ см}$$B_1C_1 = 5 \text{ см}$ (эта длина уже дана для новых точек, но она равна $BC$, т.е. $BC=5$ см)$A_1C_1 = CA = 6 \text{ см}$

Проверим, лежат ли точки $A_1, B_1, C_1$ на одной прямой. Сравним сумму длин двух меньших отрезков с длиной большего:$A_1B_1 + B_1C_1 = 1,1 \text{ см} + 5 \text{ см} = 6,1 \text{ см}$.Длина третьего, наибольшего, отрезка $A_1C_1 = 6$ см.

Сравниваем полученную сумму с длиной третьего отрезка:$6,1 \text{ см} \neq 6 \text{ см}$.Поскольку $A_1B_1 + B_1C_1 \neq A_1C_1$, точки $A_1, B_1, C_1$ не лежат на одной прямой. Они образуют треугольник, так как для них выполняется строгое неравенство треугольника ($1,1 + 5 > 6$).

Ответ: нет, не лежат.

390 На рисунке 181 назовите фигуры, симметричные относительно прямой p.

Чтобы определить, какие из представленных на рисунке фигур симметричны относительно прямой $p$, необходимо проанализировать каждую пару фигур на соответствие определению осевой симметрии. Две фигуры являются симметричными относительно некоторой прямой (оси симметрии), если каждая точка одной фигуры является симметричной некоторой точке другой фигуры относительно этой прямой. Для двух точек $X$ и $X'$ это означает, что отрезок $XX'$ перпендикулярен оси симметрии и делится ею пополам. Важным свойством симметричных фигур является их конгруэнтность (равенство).

Прямые $a$ и $a_1$

Прямые $a$ и $a_1$ пересекаются в точке, лежащей на оси симметрии $p$. Углы, которые они образуют с прямой $p$, визуально равны. Если взять любую точку на прямой $a$ и построить для нее симметричную точку относительно прямой $p$, эта точка будет лежать на прямой $a_1$. Таким образом, прямые $a$ и $a_1$ являются симметричными.

Ответ: Прямые $a$ и $a_1$ симметричны относительно прямой $p$.

Треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$

Рассмотрим вершины треугольников. Для каждой вершины треугольника $ABC$ (точек $A$, $B$, $C$) существует соответствующая вершина в треугольнике $A_1B_1C_1$ (точки $A_1$, $B_1$, $C_1$), которая является ей симметричной. Например, отрезок $AA_1$ перпендикулярен прямой $p$ и делится ею пополам. Аналогичное утверждение верно для пар точек $(B, B_1)$ и $(C, C_1)$. Поскольку соответствующие вершины треугольников симметричны, то и сами треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ симметричны относительно прямой $p$.

Ответ: Треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ симметричны относительно прямой $p$.

Отрезки $MN$ и $M_1N_1$

Для того чтобы отрезки были симметричны, их концы должны быть попарно симметричными. Точки $N$ и $N_1$ симметричны, так как отрезок $NN_1$ перпендикулярен прямой $p$ и делится ею пополам. Однако, точки $M$ и $M_1$ несимметричны, поскольку отрезок $MM_1$ не перпендикулярен прямой $p$. Так как не все соответствующие точки симметричны, отрезки $MN$ и $M_1N_1$ не являются симметричными.

Ответ: Отрезки $MN$ и $M_1N_1$ не симметричны относительно прямой $p$.

Отрезки $PQ$ и $RS$

Фигуры, симметричные относительно прямой, должны быть конгруэнтны, то есть равны. На рисунке видно, что отрезок $PQ$ значительно длиннее отрезка $RS$. Поскольку отрезки не равны, они не могут быть симметричными.

Ответ: Отрезки $PQ$ и $RS$ не симметричны относительно прямой $p$.

Отрезки, обозначенные как $h$ и $k$

Несмотря на то, что наклоны отрезков противоположны, их расположение не является симметричным. Если мысленно отразить отрезок $h$ относительно прямой $p$, он не совпадет с отрезком $k$. Соответствующие концы этих отрезков не являются симметричными точками.

Ответ: Отрезки $h$ и $k$ не симметричны относительно прямой $p$.

Окружности

Одно из главных условий симметрии — конгруэнтность фигур. Окружность, расположенная слева от прямой $p$, имеет заметно больший радиус, чем окружность справа. Так как окружности имеют разные размеры, они не конгруэнтны и, следовательно, не могут быть симметричными.

Ответ: Окружности не симметричны относительно прямой $p$.

391 Точки А₁, В₁, С₁ симметричны вершинам треугольника АВС относительно прямой а. Найдите периметр треугольника A₁B₁C₁, если АВ = 4,5 см, ВС = 5,5 см, СА = 8,1 см.

По условию задачи, точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ симметричны вершинам треугольника $ABC$ относительно прямой $a$. Это означает, что треугольник $A_1B_1C_1$ является образом треугольника $ABC$ при преобразовании осевой симметрии.

Осевая симметрия является движением, или изометрией. Ключевое свойство любого движения заключается в том, что оно сохраняет расстояния между точками. Следовательно, расстояние между любыми двумя точками фигуры равно расстоянию между соответствующими им симметричными точками.

Применяя это свойство к сторонам данных треугольников, получаем, что длины сторон треугольника $A_1B_1C_1$ равны длинам соответствующих сторон треугольника $ABC$:
Длина стороны $A_1B_1$ равна длине стороны $AB$, то есть $A_1B_1 = AB = 4,5$ см.
Длина стороны $B_1C_1$ равна длине стороны $BC$, то есть $B_1C_1 = BC = 5,5$ см.
Длина стороны $C_1A_1$ равна длине стороны $CA$, то есть $C_1A_1 = CA = 8,1$ см.

Из этого следует, что треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ равны (по третьему признаку равенства треугольников - по трем сторонам). А значит, их периметры также равны.

Периметр треугольника $A_1B_1C_1$ вычисляется как сумма длин его сторон: $P_{A_1B_1C_1} = A_1B_1 + B_1C_1 + C_1A_1$

Поскольку периметры треугольников равны ($P_{A_1B_1C_1} = P_{ABC}$), мы можем найти искомый периметр, вычислив периметр треугольника $ABC$: $P_{ABC} = AB + BC + CA$

Подставим данные из условия значения длин сторон: $P_{A_1B_1C_1} = 4,5 \text{ см} + 5,5 \text{ см} + 8,1 \text{ см} = 10 \text{ см} + 8,1 \text{ см} = 18,1 \text{ см}$.

Ответ: 18,1 см.