Номер 391, страница 111 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры. Параграф 3. Симметричные фигуры. 45. Осевая симметрия и её свойства - номер 391, страница 111.

Условие.

391 Точки А₁, В₁, С₁ симметричны вершинам треугольника АВС относительно прямой а. Найдите периметр треугольника A₁B₁C₁, если АВ = 4,5 см, ВС = 5,5 см, СА = 8,1 см.

Решение 1.

Решение 10.

Решение 11.

По условию задачи, точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ симметричны вершинам треугольника $ABC$ относительно прямой $a$. Это означает, что треугольник $A_1B_1C_1$ является образом треугольника $ABC$ при преобразовании осевой симметрии.

Осевая симметрия является движением, или изометрией. Ключевое свойство любого движения заключается в том, что оно сохраняет расстояния между точками. Следовательно, расстояние между любыми двумя точками фигуры равно расстоянию между соответствующими им симметричными точками.

Применяя это свойство к сторонам данных треугольников, получаем, что длины сторон треугольника $A_1B_1C_1$ равны длинам соответствующих сторон треугольника $ABC$:
Длина стороны $A_1B_1$ равна длине стороны $AB$, то есть $A_1B_1 = AB = 4,5$ см.
Длина стороны $B_1C_1$ равна длине стороны $BC$, то есть $B_1C_1 = BC = 5,5$ см.
Длина стороны $C_1A_1$ равна длине стороны $CA$, то есть $C_1A_1 = CA = 8,1$ см.

Из этого следует, что треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ равны (по третьему признаку равенства треугольников - по трем сторонам). А значит, их периметры также равны.

Периметр треугольника $A_1B_1C_1$ вычисляется как сумма длин его сторон: $P_{A_1B_1C_1} = A_1B_1 + B_1C_1 + C_1A_1$

Поскольку периметры треугольников равны ($P_{A_1B_1C_1} = P_{ABC}$), мы можем найти искомый периметр, вычислив периметр треугольника $ABC$: $P_{ABC} = AB + BC + CA$

Подставим данные из условия значения длин сторон: $P_{A_1B_1C_1} = 4,5 \text{ см} + 5,5 \text{ см} + 8,1 \text{ см} = 10 \text{ см} + 8,1 \text{ см} = 18,1 \text{ см}$.

Ответ: 18,1 см.