Номер 2, страница 112 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 5. § 3. Симметричные фигуры. Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры - номер 2, страница 112.

2 Сформулируйте и докажите теорему о биссектрисе угла.

Формулировка теоремы

Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум прилежащим сторонам.

Иными словами, если в треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AL$ угла $A$ (точка $L$ лежит на стороне $BC$), то справедливо следующее равенство:
$ \frac{AB}{AC} = \frac{BL}{LC} $

Доказательство

Дано: $\triangle ABC$, $AL$ — биссектриса $\angle BAC$.
Доказать: $ \frac{AB}{AC} = \frac{BL}{LC} $.

1. Проведем через вершину $C$ прямую, параллельную биссектрисе $AL$. Продлим сторону $AB$ до пересечения с этой прямой в точке $D$.

2. Рассмотрим $\triangle BDC$. По обобщенной теореме Фалеса (теореме о пропорциональных отрезках), так как прямая $AL$ параллельна стороне $DC$ и пересекает стороны $BC$ и $BD$, она делит их в одинаковом отношении:
$ \frac{BA}{AD} = \frac{BL}{LC} $

3. Теперь докажем, что $AC = AD$. Для этого рассмотрим углы, образованные параллельными прямыми $AL$ и $DC$ и секущими $AC$ и $BD$.
- $\angle LAC = \angle ACD$ (как накрест лежащие углы при параллельных $AL$, $DC$ и секущей $AC$).
- $\angle BAL = \angle ADC$ (как соответственные углы при параллельных $AL$, $DC$ и секущей $BD$).

4. По условию, $AL$ — биссектриса угла $\angle BAC$, а это значит, что $ \angle BAL = \angle LAC $.

5. Из равенств в пунктах 3 и 4 следует, что $ \angle ACD = \angle ADC $.

6. Поскольку в треугольнике $ADC$ два угла равны, он является равнобедренным с основанием $DC$. Следовательно, его боковые стороны равны: $AC = AD$.

7. Подставим полученный результат ($AC = AD$) в пропорцию из пункта 2:
$ \frac{AB}{AC} = \frac{BL}{LC} $
Что и требовалось доказать.

Ответ: Теорема о биссектрисе угла утверждает, что биссектриса $AL$ угла $A$ в треугольнике $ABC$ делит противолежащую сторону $BC$ на отрезки $BL$ и $LC$ таким образом, что выполняется пропорция $ \frac{AB}{AC} = \frac{BL}{LC} $.