Номер 390, страница 111 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

45. Осевая симметрия и её свойства. § 3. Симметричные фигуры. Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры - номер 390, страница 111.

390 На рисунке 181 назовите фигуры, симметричные относительно прямой p.

Чтобы определить, какие из представленных на рисунке фигур симметричны относительно прямой $p$, необходимо проанализировать каждую пару фигур на соответствие определению осевой симметрии. Две фигуры являются симметричными относительно некоторой прямой (оси симметрии), если каждая точка одной фигуры является симметричной некоторой точке другой фигуры относительно этой прямой. Для двух точек $X$ и $X'$ это означает, что отрезок $XX'$ перпендикулярен оси симметрии и делится ею пополам. Важным свойством симметричных фигур является их конгруэнтность (равенство).

Прямые $a$ и $a_1$

Прямые $a$ и $a_1$ пересекаются в точке, лежащей на оси симметрии $p$. Углы, которые они образуют с прямой $p$, визуально равны. Если взять любую точку на прямой $a$ и построить для нее симметричную точку относительно прямой $p$, эта точка будет лежать на прямой $a_1$. Таким образом, прямые $a$ и $a_1$ являются симметричными.

Ответ: Прямые $a$ и $a_1$ симметричны относительно прямой $p$.

Треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$

Рассмотрим вершины треугольников. Для каждой вершины треугольника $ABC$ (точек $A$, $B$, $C$) существует соответствующая вершина в треугольнике $A_1B_1C_1$ (точки $A_1$, $B_1$, $C_1$), которая является ей симметричной. Например, отрезок $AA_1$ перпендикулярен прямой $p$ и делится ею пополам. Аналогичное утверждение верно для пар точек $(B, B_1)$ и $(C, C_1)$. Поскольку соответствующие вершины треугольников симметричны, то и сами треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ симметричны относительно прямой $p$.

Ответ: Треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ симметричны относительно прямой $p$.

Отрезки $MN$ и $M_1N_1$

Для того чтобы отрезки были симметричны, их концы должны быть попарно симметричными. Точки $N$ и $N_1$ симметричны, так как отрезок $NN_1$ перпендикулярен прямой $p$ и делится ею пополам. Однако, точки $M$ и $M_1$ несимметричны, поскольку отрезок $MM_1$ не перпендикулярен прямой $p$. Так как не все соответствующие точки симметричны, отрезки $MN$ и $M_1N_1$ не являются симметричными.

Ответ: Отрезки $MN$ и $M_1N_1$ не симметричны относительно прямой $p$.

Отрезки $PQ$ и $RS$

Фигуры, симметричные относительно прямой, должны быть конгруэнтны, то есть равны. На рисунке видно, что отрезок $PQ$ значительно длиннее отрезка $RS$. Поскольку отрезки не равны, они не могут быть симметричными.

Ответ: Отрезки $PQ$ и $RS$ не симметричны относительно прямой $p$.

Отрезки, обозначенные как $h$ и $k$

Несмотря на то, что наклоны отрезков противоположны, их расположение не является симметричным. Если мысленно отразить отрезок $h$ относительно прямой $p$, он не совпадет с отрезком $k$. Соответствующие концы этих отрезков не являются симметричными точками.

Ответ: Отрезки $h$ и $k$ не симметричны относительно прямой $p$.

Окружности

Одно из главных условий симметрии — конгруэнтность фигур. Окружность, расположенная слева от прямой $p$, имеет заметно больший радиус, чем окружность справа. Так как окружности имеют разные размеры, они не конгруэнтны и, следовательно, не могут быть симметричными.

Ответ: Окружности не симметричны относительно прямой $p$.