Номер 388, страница 111 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

45. Осевая симметрия и её свойства. § 3. Симметричные фигуры. Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры - номер 388, страница 111.

388 На рисунке 180, б точки А и А₁, В и В₁ симметричны относительно прямой p. Найдите длины отрезков АВ и А₁В₁, если АА₁=5см, ВВ₁=15см.

б)

По определению осевой симметрии, если точки симметричны относительно некоторой прямой, то эта прямая является серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему эти точки. Из условия задачи известно, что точки $A$ и $A_1$ симметричны относительно прямой $p$, а также точки $B$ и $B_1$ симметричны относительно прямой $p$.

Это означает, что прямая $p$ перпендикулярна отрезкам $AA_1$ и $BB_1$ и делит их пополам. Из рисунка видно, что все четыре точки лежат на одной прямой, перпендикулярной прямой $p$.

Найдем расстояние от каждой из точек до прямой симметрии $p$.
Расстояние от точки $A$ до прямой $p$ равно половине длины отрезка $AA_1$: $d(A, p) = \frac{AA_1}{2} = \frac{5}{2} = 2,5$ см.
Аналогично, расстояние от точки $B$ до прямой $p$ равно половине длины отрезка $BB_1$: $d(B, p) = \frac{BB_1}{2} = \frac{15}{2} = 7,5$ см.

На рисунке показано, что точки $A$ и $B$ находятся по разные стороны от прямой $p$. Следовательно, чтобы найти длину отрезка $AB$, нужно сложить расстояния от точек $A$ и $B$ до прямой $p$: $AB = d(A, p) + d(B, p) = 2,5 \text{ см} + 7,5 \text{ см} = 10$ см.

Осевая симметрия является движением, то есть преобразованием, сохраняющим расстояния. Так как точка $A_1$ является образом точки $A$, а точка $B_1$ — образом точки $B$ при симметрии относительно прямой $p$, то расстояние между образами $A_1B_1$ будет равно расстоянию между прообразами $AB$. $A_1B_1 = AB = 10$ см.

Ответ: $AB = 10$ см, $A_1B_1 = 10$ см.