Номер 389, страница 111 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры. Параграф 3. Симметричные фигуры. 45. Осевая симметрия и её свойства - номер 389, страница 111.

Условие.

389 Лежат ли точки А₁, В₁, С₁ на одной прямой, если они симметричны точкам А, В, С относительно некоторой прямой и известно, что: а) АВ = 2 дм, АС = 10 дм, ВС = 80 см; б) АВ = 1,1 см, В₁С₁ = 5 см, СА = 6 см?

Решение 1.

Решение 10.

Решение 11.

Осевая симметрия является движением (изометрией), а значит, она сохраняет расстояния между точками. Если точки $A_1, B_1, C_1$ симметричны точкам $A, B, C$ относительно некоторой прямой, то расстояния между соответствующими точками равны: $A_1B_1 = AB$, $B_1C_1 = BC$, $A_1C_1 = AC$.

Три точки лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда длина наибольшего из отрезков, соединяющих эти точки, равна сумме длин двух других отрезков. Это частный случай неравенства треугольника, когда оно обращается в равенство.

а)

По условию даны длины отрезков: $AB = 2$ дм, $AC = 10$ дм, $BC = 80$ см.Для начала приведем все величины к единой единице измерения, например, к сантиметрам (см). Зная, что $1$ дм $= 10$ см, получаем:$AB = 2 \text{ дм} = 2 \times 10 \text{ см} = 20 \text{ см}$$AC = 10 \text{ дм} = 10 \times 10 \text{ см} = 100 \text{ см}$$BC = 80 \text{ см}$

Так как осевая симметрия сохраняет расстояния, то длины отрезков, соединяющих точки $A_1, B_1, C_1$, будут следующими:$A_1B_1 = AB = 20 \text{ см}$$B_1C_1 = BC = 80 \text{ см}$$A_1C_1 = AC = 100 \text{ см}$

Теперь проверим, лежат ли точки $A_1, B_1, C_1$ на одной прямой. Для этого нужно проверить, выполняется ли равенство $A_1B_1 + B_1C_1 = A_1C_1$ (или другие комбинации, соответствующие расположению точек). Сравним сумму длин двух меньших отрезков с длиной большего:$A_1B_1 + B_1C_1 = 20 \text{ см} + 80 \text{ см} = 100 \text{ см}$.Длина третьего, наибольшего, отрезка $A_1C_1$ также равна $100$ см.

Поскольку $A_1B_1 + B_1C_1 = A_1C_1$, точки $A_1, B_1, C_1$ лежат на одной прямой, причем точка $B_1$ находится между точками $A_1$ и $C_1$.

Ответ: да, лежат.

б)

По условию даны длины: $AB = 1,1$ см, $B_1C_1 = 5$ см, $CA = 6$ см.

Используя свойство сохранения расстояний при осевой симметрии, находим длины отрезков для точек $A_1, B_1, C_1$:$A_1B_1 = AB = 1,1 \text{ см}$$B_1C_1 = 5 \text{ см}$ (эта длина уже дана для новых точек, но она равна $BC$, т.е. $BC=5$ см)$A_1C_1 = CA = 6 \text{ см}$

Проверим, лежат ли точки $A_1, B_1, C_1$ на одной прямой. Сравним сумму длин двух меньших отрезков с длиной большего:$A_1B_1 + B_1C_1 = 1,1 \text{ см} + 5 \text{ см} = 6,1 \text{ см}$.Длина третьего, наибольшего, отрезка $A_1C_1 = 6$ см.

Сравниваем полученную сумму с длиной третьего отрезка:$6,1 \text{ см} \neq 6 \text{ см}$.Поскольку $A_1B_1 + B_1C_1 \neq A_1C_1$, точки $A_1, B_1, C_1$ не лежат на одной прямой. Они образуют треугольник, так как для них выполняется строгое неравенство треугольника ($1,1 + 5 > 6$).

Ответ: нет, не лежат.