Номер 393, страница 112 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

45. Осевая симметрия и её свойства. § 3. Симметричные фигуры. Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры - номер 393, страница 112.

393 Докажите, что если треугольник имеет ось симметрии, то он равнобедренный и осью симметрии является серединный перпендикуляр к основанию.

Решение.

Пусть p — ось симметрии △ABC. Так как точки А, В, С не лежат на одной прямой, то хотя бы одна из этих точек не лежит на прямой p. Пусть для определённости точка В не лежит на оси. Ясно, что каждая из вершин А, В, С треугольника ABC симметрична некоторой вершине того же треугольника, поэтому вершина В симметрична либо вершине С, либо вершине А. Пусть, например, В и С симметричны относительно прямой p. В этом случае точка А не может быть симметрична ни точке В, ни точке С, поэтому точка А симметрична самой себе, следовательно, точка А принадлежит прямой p. Таким образом, стороны АВ и АС треугольника ABC симметричны относительно прямой p, поэтому АВ = АС, т. е. треугольник ABC равнобедренный. Так как точки В и С симметричны относительно прямой p, то осью симметрии треугольника является серединный перпендикуляр к основанию ВС.

Пусть треугольник $ABC$ имеет ось симметрии, которую мы обозначим как прямую $p$. По определению осевой симметрии, при отображении относительно прямой $p$ треугольник $ABC$ переходит сам в себя. Это означает, что каждая вершина треугольника должна отобразиться в одну из вершин этого же треугольника.

Вершины треугольника $A$, $B$ и $C$ не лежат на одной прямой. Следовательно, хотя бы одна из них не лежит на оси симметрии $p$ (иначе все три вершины лежали бы на одной прямой $p$).

Предположим, что вершина $A$ не лежит на оси $p$. Тогда при симметрии она должна отобразиться в другую вершину, например, в $B$. В этом случае точки $A$ и $B$ симметричны относительно прямой $p$. Тогда оставшаяся вершина $C$ может отобразиться только сама в себя, а значит, вершина $C$ должна лежать на оси симметрии $p$.

Итак, мы имеем следующую ситуацию (без потери общности): одна вершина (например, $C$) лежит на оси симметрии $p$, а две другие вершины ($A$ и $B$) симметричны друг другу относительно этой оси.

1. Докажем, что треугольник равнобедренный.

Осевая симметрия является движением, то есть она сохраняет расстояния между точками. Рассмотрим стороны $AC$ и $BC$.

При симметрии относительно прямой $p$:

• Точка $A$ отображается в точку $B$.
• Точка $C$ отображается сама в себя (так как $C$ лежит на оси $p$).

Следовательно, отрезок $AC$ отображается на отрезок $BC$. Поскольку симметрия сохраняет длины, то длина отрезка $AC$ равна длине отрезка $BC$.

$AC = BC$

Треугольник, у которого две стороны равны, является равнобедренным. Таким образом, треугольник $ABC$ — равнобедренный с основанием $AB$.

2. Докажем, что ось симметрии является серединным перпендикуляром к основанию.

Мы установили, что вершины $A$ и $B$ симметричны относительно прямой $p$. По определению точек, симметричных относительно прямой, эта прямая является серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему данные точки.

Следовательно, ось симметрии $p$ является серединным перпендикуляром к основанию $AB$ треугольника $ABC$.

Таким образом, утверждение полностью доказано.

Ответ: Если треугольник имеет ось симметрии, то он обязательно является равнобедренным. При этом ось симметрии проходит через одну из его вершин и является серединным перпендикуляром к противолежащей стороне (основанию), а также является биссектрисой угла при этой вершине и медианой, проведенной к основанию.