Номер 394, страница 114 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры. Параграф 3. Симметричные фигуры. Дополнительные задачи - номер 394, страница 114.

Условие.

394 Докажите, что касательные, проведённые через концы хорды, не являющейся диаметром окружности, пересекаются.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 9.

Решение 11.

Для доказательства используем метод от противного.

Пусть дана окружность с центром в точке $O$. Проведена хорда $AB$, которая не является диаметром. Это означает, что точки $A$, $O$ и $B$ не лежат на одной прямой.

Пусть $m_1$ — касательная к окружности в точке $A$, а $m_2$ — касательная в точке $B$.

Предположим, что касательные $m_1$ и $m_2$ не пересекаются. На плоскости это означает, что они параллельны: $m_1 \parallel m_2$.

Согласно свойству касательной, радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, радиус $OA$ перпендикулярен касательной $m_1$ ($OA \perp m_1$), а радиус $OB$ перпендикулярен касательной $m_2$ ($OB \perp m_2$).

Из того, что $m_1 \parallel m_2$ и $OA \perp m_1$, следует, что прямая $OA$ также перпендикулярна прямой $m_2$ (по свойству параллельных прямых: если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и второй). Таким образом, $OA \perp m_2$.

Теперь мы имеем, что из одной точки $O$ к одной прямой $m_2$ проведены два перпендикуляра: $OA$ и $OB$. Однако, согласно теореме о перпендикуляре к прямой, из любой точки, не лежащей на прямой, можно провести только один перпендикуляр к этой прямой. Это означает, что прямые $OA$ и $OB$ должны совпадать.

Если прямые $OA$ и $OB$ совпадают, то точки $A$, $O$ и $B$ лежат на одной прямой. В этом случае хорда $AB$ проходит через центр окружности и является её диаметром.

Это заключение противоречит первоначальному условию задачи, согласно которому хорда $AB$ не является диаметром. Следовательно, наше предположение о том, что касательные $m_1$ и $m_2$ не пересекаются (параллельны), неверно.

Значит, касательные, проведённые через концы хорды, не являющейся диаметром, должны пересекаться.

Ответ: Утверждение доказано.