Номер 394, страница 114 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Симметричные фигуры. Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры - номер 394, страница 114.

394 Докажите, что касательные, проведённые через концы хорды, не являющейся диаметром окружности, пересекаются.

Для доказательства используем метод от противного.

Пусть дана окружность с центром в точке $O$. Проведена хорда $AB$, которая не является диаметром. Это означает, что точки $A$, $O$ и $B$ не лежат на одной прямой.

Пусть $m_1$ — касательная к окружности в точке $A$, а $m_2$ — касательная в точке $B$.

Предположим, что касательные $m_1$ и $m_2$ не пересекаются. На плоскости это означает, что они параллельны: $m_1 \parallel m_2$.

Согласно свойству касательной, радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, радиус $OA$ перпендикулярен касательной $m_1$ ($OA \perp m_1$), а радиус $OB$ перпендикулярен касательной $m_2$ ($OB \perp m_2$).

Из того, что $m_1 \parallel m_2$ и $OA \perp m_1$, следует, что прямая $OA$ также перпендикулярна прямой $m_2$ (по свойству параллельных прямых: если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и второй). Таким образом, $OA \perp m_2$.

Теперь мы имеем, что из одной точки $O$ к одной прямой $m_2$ проведены два перпендикуляра: $OA$ и $OB$. Однако, согласно теореме о перпендикуляре к прямой, из любой точки, не лежащей на прямой, можно провести только один перпендикуляр к этой прямой. Это означает, что прямые $OA$ и $OB$ должны совпадать.

Если прямые $OA$ и $OB$ совпадают, то точки $A$, $O$ и $B$ лежат на одной прямой. В этом случае хорда $AB$ проходит через центр окружности и является её диаметром.

Это заключение противоречит первоначальному условию задачи, согласно которому хорда $AB$ не является диаметром. Следовательно, наше предположение о том, что касательные $m_1$ и $m_2$ не пересекаются (параллельны), неверно.

Значит, касательные, проведённые через концы хорды, не являющейся диаметром, должны пересекаться.

Ответ: Утверждение доказано.