Номер 27, страница 114 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 5. § 3. Симметричные фигуры. Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры - номер 27, страница 114.

27 Как построить ось симметрии двух данных точек?

Осью симметрии двух данных точек $A$ и $B$ является прямая, которая перпендикулярна отрезку $AB$ и проходит через его середину. Такая прямая называется серединным перпендикуляром к отрезку. Для построения оси симметрии с помощью циркуля и линейки (без делений) необходимо выполнить следующий алгоритм:

1. Соединить данные точки $A$ и $B$ отрезком при помощи линейки.
2. Установить ножку циркуля в точку $A$. Раствор циркуля (радиус) выбрать так, чтобы он был больше половины длины отрезка $AB$. Провести дугу окружности.
3. Не меняя раствора циркуля, установить его ножку в точку $B$ и провести вторую дугу так, чтобы она пересекла первую в двух местах.
4. Обозначить точки пересечения дуг как $C$ и $D$.
5. С помощью линейки провести прямую через точки $C$ и $D$.

Полученная прямая $CD$ является искомой осью симметрии для точек $A$ и $B$.

Обоснование

Каждая точка на построенной прямой $CD$ равноудалена от точек $A$ и $B$. Рассмотрим точку $C$. По построению, она принадлежит двум окружностям: одной с центром в $A$ и радиусом $R$, и другой с центром в $B$ и тем же радиусом $R$. Следовательно, расстояние от $C$ до $A$ равно $R$, и расстояние от $C$ до $B$ также равно $R$. Таким образом, $AC = BC$. Аналогично для точки $D$: $AD = BD$.

Любая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Поскольку точки $C$ и $D$ обе равноудалены от $A$ и $B$, прямая, проходящая через $C$ и $D$, и есть серединный перпендикуляр к отрезку $AB$. Серединный перпендикуляр по определению является осью симметрии для концов отрезка — точек $A$ и $B$.

Ответ: Чтобы построить ось симметрии двух данных точек, нужно построить серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки. Для этого необходимо: 1) из каждой точки как из центра провести дуги окружности одинакового радиуса (большего, чем половина расстояния между точками) так, чтобы они пересеклись; 2) провести прямую через две точки пересечения этих дуг. Эта прямая и будет осью симметрии.