Номер 21, страница 113 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры. Параграф 3. Симметричные фигуры. Вопросы для повторения к главе 5 - номер 21, страница 113.

Условие.

21 Какая окружность называется описанной около треугольника? Какой треугольник называется вписанным в окружность?

Решение 1.

Решение 10.

Решение 11.

Какая окружность называется описанной около треугольника?

Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все три вершины этого треугольника. Центр такой окружности — это точка пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника. Эта точка равноудалена от всех вершин треугольника.
Положение центра описанной окружности зависит от вида треугольника:
— для остроугольного треугольника центр лежит внутри треугольника;
— для прямоугольного треугольника центр лежит на середине гипотенузы;
— для тупоугольного треугольника центр лежит вне треугольника.
Около любого треугольника можно описать окружность, и притом только одну. Радиус описанной окружности $R$ можно найти, например, по формуле, связывающей его со сторонами треугольника $a, b, c$ и его площадью $S$: $R = \frac{abc}{4S}$. Также радиус можно найти из расширенной теоремы синусов: $2R = \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}$, где $\alpha, \beta, \gamma$ — углы, противолежащие соответствующим сторонам.
Ответ: Окружность, проходящая через все три вершины треугольника.

Какой треугольник называется вписанным в окружность?

Треугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на этой окружности.
Это определение является обратным по отношению к определению описанной окружности. Если некоторая окружность описана около треугольника, то этот треугольник, в свою очередь, является вписанным в данную окружность.
Стороны вписанного треугольника являются хордами окружности. Поскольку около любого треугольника можно описать единственную окружность, то и любой треугольник можно вписать в единственную для него окружность.
Ответ: Треугольник, все вершины которого лежат на окружности.