Номер 15, страница 113 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 5. § 3. Симметричные фигуры. Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры - номер 15, страница 113.

15 Сформулируйте и докажите теорему, обратную теореме о свойстве касательной.

Формулировка теоремы, обратной теореме о свойстве касательной (признак касательной)

Если прямая проходит через точку, лежащую на окружности, и перпендикулярна радиусу, проведенному в эту точку, то эта прямая является касательной к данной окружности.

Доказательство

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $r$. На окружности лежит точка $A$. Через точку $A$ проведена прямая $a$ так, что радиус $OA$ перпендикулярен прямой $a$ ($OA \perp a$).

Нам нужно доказать, что прямая $a$ является касательной к окружности, то есть имеет с ней только одну общую точку — точку $A$.

Воспользуемся методом доказательства от противного. Предположим, что прямая $a$ не является касательной. Это означает, что она имеет с окружностью еще хотя бы одну общую точку, отличную от $A$. Назовем эту точку $B$.

Рассмотрим треугольник $\triangle OAB$. Так как точки $A$ и $B$ лежат на окружности, то отрезки $OA$ и $OB$ являются радиусами этой окружности. Следовательно, $OA = OB = r$.

Поскольку $OA = OB$, треугольник $\triangle OAB$ является равнобедренным с основанием $AB$. По свойству равнобедренного треугольника, углы при основании равны: $\angle OAB = \angle OBA$.

По условию теоремы, прямая $a$ перпендикулярна радиусу $OA$. Это означает, что угол $\angle OAB$ является прямым, то есть $\angle OAB = 90^\circ$.

Так как $\angle OAB = \angle OBA$, то и угол $\angle OBA$ также равен $90^\circ$.

Таким образом, в треугольнике $\triangle OAB$ два угла равны по $90^\circ$. Их сумма составляет $\angle OAB + \angle OBA = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. Это противоречит теореме о сумме углов треугольника, согласно которой сумма всех трех углов треугольника должна быть равна $180^\circ$. В нашем случае на третий угол $\angle AOB$ остается $0^\circ$, что невозможно для невырожденного треугольника.

Полученное противоречие означает, что наше первоначальное предположение было неверным. Прямая $a$ не может иметь с окружностью второй общей точки $B$. Следовательно, прямая $a$ имеет с окружностью ровно одну общую точку $A$, а значит, является касательной к окружности. Что и требовалось доказать.

Ответ: Теорема доказана методом от противного: допущение о существовании второй точки пересечения прямой и окружности приводит к противоречию с теоремой о сумме углов треугольника.