Номер 14, страница 113 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023

Авторы: Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2023 - 2025

Уровень обучения: базовый

Цвет обложки: синий

ISBN: 978-5-09-102538-5 (2023), 978-5-09-111167-5 (2024)

Допущено Министерством просвещения Российской Федерации

Популярные ГДЗ в 7 классе

Вопросы для повторения к главе 5. § 3. Симметричные фигуры. Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры - номер 14, страница 113.

Навигация по странице:

Решение Комментарии
№14 (с. 113)
Условие. №14 (с. 113)
скриншот условия
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 113, номер 14, Условие

14 Что известно об отрезках касательных к окружности, проведённых из одной точки?

Решение 1. №14 (с. 113)
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 113, номер 14, Решение 1
Решение 10. №14 (с. 113)
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 113, номер 14, Решение 10
Решение 11. №14 (с. 113)

Ключевое свойство отрезков касательных, проведённых к окружности из одной точки, заключается в том, что эти отрезки равны между собой. Также существуют и другие важные свойства, связанные с этим построением.

Рассмотрим это свойство более подробно и докажем его.

Доказательство.

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и точка $A$, расположенная вне окружности. Из точки $A$ проведём две касательные к окружности. Пусть $B$ и $C$ — это точки касания. Требуется доказать, что $AB = AC$.

Касательные к окружности из одной точки

Соединим центр окружности $O$ с точкой $A$ и с точками касания $B$ и $C$. В результате образуются два треугольника: $?ABO$ и $?ACO$.

Рассмотрим эти треугольники:
1. Отрезки $OB$ и $OC$ являются радиусами одной и той же окружности, следовательно, они равны: $OB = OC = r$.
2. По свойству касательной, радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Это означает, что углы $?ABO$ и $?ACO$ прямые, то есть $?ABO = ?ACO = 90°$.
3. Сторона $AO$ является общей для обоих треугольников.

Таким образом, треугольники $?ABO$ и $?ACO$ — прямоугольные. Они равны по гипотенузе (общая сторона $AO$) и катету ($OB = OC$).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Следовательно, катет $AB$ первого треугольника равен катету $AC$ второго треугольника: $AB = AC$. Что и требовалось доказать.

Следствия из доказательства.

Из того, что $?ABO = ?ACO$, следуют ещё два важных свойства:
1. Прямая $AO$, соединяющая точку $A$ с центром окружности, делит пополам угол между касательными. То есть, $AO$ является биссектрисой угла $?BAC$, а значит $?BAO = ?CAO$.
2. Эта же прямая $AO$ делит пополам угол между радиусами, проведёнными в точки касания. То есть, $AO$ является биссектрисой угла $?BOC$, а значит $?BOA = ?COA$.

Ответ: Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны между собой. Кроме того, прямая, соединяющая эту точку с центром окружности, является биссектрисой угла между касательными, а также биссектрисой угла между радиусами, проведёнными в точки касания.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 7-9 класс, для упражнения номер 14 расположенного на странице 113 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №14 (с. 113), авторов: Атанасян (Левон Сергеевич), Бутузов (Валентин Фёдорович), Кадомцев (Сергей Борисович), Позняк (Эдуард Генрихович), Юдина (Ирина Игоревна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться