Номер 14, страница 113 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Авторы: Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2023 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий
ISBN: 978-5-09-102538-5 (2023), 978-5-09-111167-5 (2024)
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 7 классе
Вопросы для повторения к главе 5. § 3. Симметричные фигуры. Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры - номер 14, страница 113.
№14 (с. 113)
Условие. №14 (с. 113)
скриншот условия

14 Что известно об отрезках касательных к окружности, проведённых из одной точки?
Решение 1. №14 (с. 113)

Решение 10. №14 (с. 113)

Решение 11. №14 (с. 113)
Ключевое свойство отрезков касательных, проведённых к окружности из одной точки, заключается в том, что эти отрезки равны между собой. Также существуют и другие важные свойства, связанные с этим построением.
Рассмотрим это свойство более подробно и докажем его.
Доказательство.
Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и точка $A$, расположенная вне окружности. Из точки $A$ проведём две касательные к окружности. Пусть $B$ и $C$ — это точки касания. Требуется доказать, что $AB = AC$.
Соединим центр окружности $O$ с точкой $A$ и с точками касания $B$ и $C$. В результате образуются два треугольника: $?ABO$ и $?ACO$.
Рассмотрим эти треугольники:
1. Отрезки $OB$ и $OC$ являются радиусами одной и той же окружности, следовательно, они равны: $OB = OC = r$.
2. По свойству касательной, радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Это означает, что углы $?ABO$ и $?ACO$ прямые, то есть $?ABO = ?ACO = 90°$.
3. Сторона $AO$ является общей для обоих треугольников.
Таким образом, треугольники $?ABO$ и $?ACO$ — прямоугольные. Они равны по гипотенузе (общая сторона $AO$) и катету ($OB = OC$).
Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Следовательно, катет $AB$ первого треугольника равен катету $AC$ второго треугольника: $AB = AC$. Что и требовалось доказать.
Следствия из доказательства.
Из того, что $?ABO = ?ACO$, следуют ещё два важных свойства:
1. Прямая $AO$, соединяющая точку $A$ с центром окружности, делит пополам угол между касательными. То есть, $AO$ является биссектрисой угла $?BAC$, а значит $?BAO = ?CAO$.
2. Эта же прямая $AO$ делит пополам угол между радиусами, проведёнными в точки касания. То есть, $AO$ является биссектрисой угла $?BOC$, а значит $?BOA = ?COA$.
Ответ: Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны между собой. Кроме того, прямая, соединяющая эту точку с центром окружности, является биссектрисой угла между касательными, а также биссектрисой угла между радиусами, проведёнными в точки касания.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 7-9 класс, для упражнения номер 14 расположенного на странице 113 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №14 (с. 113), авторов: Атанасян (Левон Сергеевич), Бутузов (Валентин Фёдорович), Кадомцев (Сергей Борисович), Позняк (Эдуард Генрихович), Юдина (Ирина Игоревна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.