Номер 8, страница 113 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 5. § 3. Симметричные фигуры. Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры - номер 8, страница 113.

8 Сформулируйте и докажите свойства диаметра окружности.

Свойства диаметра окружности можно сформулировать в виде нескольких теорем.

Свойство 1: Диаметр является самой длинной хордой окружности.

Доказательство:
Рассмотрим окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Диаметр этой окружности $d = 2R$.
Пусть $AB$ — произвольная хорда этой окружности.
1. Если хорда $AB$ является диаметром, то ее длина равна $2R$.
2. Если хорда $AB$ не является диаметром, то точки $A$, $B$ и центр окружности $O$ образуют треугольник $AOB$. В этом треугольнике стороны $OA$ и $OB$ являются радиусами окружности, то есть $OA = OB = R$.
Согласно неравенству треугольника, любая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон. Для стороны $AB$ имеем:
$AB < OA + OB$
$AB < R + R$
$AB < 2R$
Таким образом, любая хорда, не проходящая через центр окружности, короче диаметра. Следовательно, диаметр — это самая длинная хорда окружности.
Ответ: Диаметр является наибольшей из всех хорд окружности, что и требовалось доказать.

Свойство 2: Диаметр, перпендикулярный хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею дуги пополам.

Доказательство:
Пусть в окружности с центром $O$ проведен диаметр $MN$, который перпендикулярен хорде $CD$ и пересекает ее в точке $H$. (Случай, когда хорда сама является диаметром, тривиален: они пересекаются в центре и делят друг друга пополам).
Рассмотрим треугольник $COD$. Так как $OC$ и $OD$ являются радиусами окружности, то $OC = OD$. Следовательно, треугольник $COD$ — равнобедренный с основанием $CD$.
Отрезок $OH$ является высотой этого треугольника, проведенной к основанию, так как по условию $MN \perp CD$.
В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой.
1. Так как $OH$ — медиана, она делит основание $CD$ пополам: $CH = HD$.
2. Так как $OH$ — биссектриса, она делит угол $\angle COD$ пополам: $\angle COH = \angle DOH$ (или $\angle COM = \angle DOM$).
Центральные углы $\angle COM$ и $\angle DOM$ равны, следовательно, равны и дуги, на которые они опираются: дуга $CM$ = дуга $DM$.
Также рассмотрим смежные с ними углы: $\angle CON = 180^\circ - \angle COM$ и $\angle DON = 180^\circ - \angle DOM$. Так как $\angle COM = \angle DOM$, то и $\angle CON = \angle DON$.
Равенство этих центральных углов означает равенство дуг, на которые они опираются: дуга $CN$ = дуга $DN$.
Таким образом, диаметр $MN$ делит пополам хорду $CD$ и обе стягиваемые ею дуги ($CMD$ и $CND$).
Ответ: Диаметр, перпендикулярный хорде, делит пополам и саму хорду, и стягиваемые ею дуги, что и требовалось доказать.

Свойство 3 (обратная теорема): Диаметр, делящий хорду (не являющуюся диаметром) пополам, перпендикулярен ей.

Доказательство:
Пусть в окружности с центром $O$ проведен диаметр $MN$, который пересекает хорду $CD$ (не являющуюся диаметром) в точке $H$ и делит ее пополам, то есть $CH = HD$.
Соединим центр окружности $O$ с концами хорды, точками $C$ и $D$. Получим треугольник $COD$.
В этом треугольнике стороны $OC$ и $OD$ равны как радиусы окружности ($OC = OD = R$). Следовательно, треугольник $COD$ — равнобедренный с основанием $CD$.
Отрезок $OH$ (часть диаметра $MN$) соединяет вершину треугольника $O$ с серединой основания $H$. Таким образом, $OH$ является медианой треугольника $COD$.
В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также высотой.
Следовательно, $OH \perp CD$. А так как отрезок $OH$ лежит на диаметре $MN$, то и весь диаметр $MN$ перпендикулярен хорде $CD$.
Ответ: Диаметр, проходящий через середину хорды, не являющейся диаметром, перпендикулярен этой хорде, что и требовалось доказать.